\(x^2+y^2=3\) , chứng minh

\(\left(x+y\right)^2\le6\)

K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

23 tháng 4 2019

Áp dụng bđt Bunyakovsky:

\(\left(x+y\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2\left(x^2+y^2\right)=6\)

\("="\Leftrightarrow x=y=\sqrt{\frac{3}{2}}\)

16 tháng 8 2017

 a,(x+y)2-y2                                                       b, (x2+y2)2-(2xy)2

=x2+2xy+y2-y2                                                                        =(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)

=x2+2xy                                                                                        =(x+y)2.(x-y)2=VP

=x(x+2y)=VP

17 tháng 8 2019

a, \(\left(x+y+z\right)^2=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)z+z^2\)\(=x^2+2xy+y^2+2zx+2zy+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)(đpcm)

b, \(\left(x+y+z\right)^3=\left(\left(x+y\right)+z\right)^3=\left(x+y\right)^3+z^3+3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)\)

\(=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+z^3+3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)\)

\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(xy+z\left(x+y+z\right)\right)\)

\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(xy+zx+zy+z^2\right)\)

\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y\left(x+z\right)+z\left(x+z\right)\right)\)

\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)

24 tháng 7 2019

1) \(VT=x^3+x^2y-x^2y-xy^2+xy^2+y^3=x^3+y^3=VP\)

2) \(VP=x^2+xy-xy-y^2=x^2-y^2=VT\)

3) \(VP=x^2+2\cdot x\cdot1+1=x^2+2x+1=VT\)

4) \(VP=x^3+x^2y+xy^2-x^2y-xy^2-y^3=x^3-y^3=VT\)

24 tháng 7 2019

1, \(\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y\right)=x^3+y^3\\ x^3+x^2y-x^2y-xy^2+xy^2+y^3=x^3+y^3\\ x^3+y^3=x^3+y^3\left(đúng\right)\)Vậy ta được đpcm

2, \(x^2-y^2=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\\ x^2-y^2=x^2+xy-xy-y^2\\ x^2-y^2=x^2-y^2\left(đúng\right)\)Vậy ta được đpcm

3, \(x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2\\ x^2+2x+1=\left(x+1\right)\left(x+1\right)\\ x^2+2x+1=x^2+x+x+1\\ x^2+2x+1=x^2+2x+1\left(đúng\right)\)Vậy ta được đpcm

4, \(x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\\ x^3-y^3=x^3+x^2y+xy^2-x^2y-xy^2-y^3\\ x^3-y^3=x^3-y^3\left(đúng\right)\)Vậy ta được đpcm

8 tháng 5 2019

Áp dụng bđt Bunhiacopxki :

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

Hay \(2\cdot3\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le6\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{6}}{2}\)

ta có (x - y)2 \(\ge\)

\(\Rightarrow\)x2 + y2 \(\ge\)2xy

\(\Rightarrow\)\(\ge\)2xy

ta có (x +y)2 = x2 + 2xy + y2 = 3 + 2xy \(\le\)3 + 3=6

vậy (x+y )2 \(\le\)6 (đpcm)

#mã mã#

16 tháng 8 2018

a. -(b-a)3= -b3+a3 (phá ngoặc trước có dấu trừ nên đổi dấu)

= a3 - b3 = (a-b)3

31 tháng 8 2018

b)

\(\left(-a-b\right)^2=\left(-a\right)^2-2.\left(-a\right)b+b^2\\ =a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2\)

25 tháng 5 2019

Áp dụng BĐT : ( a + b + c )2 \(\ge\)3 ( ab + bc + ac )

Ta có : \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge\frac{3\left(xy+y+x\right)}{xy+y+x}=3\)

đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}=A\)

ta có : \(A+\frac{1}{A}=\frac{8A}{9}+\frac{A}{9}+\frac{1}{A}\ge\frac{8.3}{9}+2\sqrt{\frac{A}{9}.\frac{1}{A}}=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)

25 tháng 5 2019

Ta có \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

Áp dụng ta được

\(\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(x+y+xy\right)\)=> \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge3\)

Đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{x+y+xy}=t\)(\(t\ge3\))

Khi đó

\(VT=t+\frac{1}{t}=\left(\frac{t}{9}+\frac{1}{t}\right)+\frac{8}{9}t\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}t=3\\x=y=1\end{cases}}\)=> x=y=1

Lưu ý 

Nhiều người sẽ nhầm \(VT\ge2\)

Khi đó dấu bằng \(\left(x+y+1\right)^2=xy+x+y\)không xảy ra 

4 tháng 7 2018

1/ chuyển vế đổi dấu ta có: \(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\)

Mà một cái bình phương luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0 => BĐT ban đầu đúng

2/ Chứng minh x2y2(x2+y2) 2 - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

3/ ...

15 tháng 7 2019

bài 2: a bạn có thể thêm bớt y^2 vào vế bên phải

bài 2 c thì bạn có thể mở ngoặc ở vế phải rồi tính sau đó áp dụng hđt