Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có: \(\Delta=p^2+4>0\), mọi p
=> phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt .
Áp dụng định lí Viet ta có:
\(x_1+x_2=-p\)
\(x_1.x_2=-1\)
Ta cần chứng minh với n là số tự nhiên: \(S_{n+2}=-pS_{n+1}+S_n\) (1)
+) Với \(S_0=x_1^o+x_2^o=2\);\(S_1=-p\)
\(S_2=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=p^2+2=-pS_1+S_2\)
=>(1) đúng với n = 0.
+) G/s : (1) đúng với n
+) Chứng minh (1) đúng (1) đúng với n +1
Ta có: \(S_{n+1}=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}=\left(x_1^n+x_2^n\right)\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2\left(x_1^{n-1}+x_1^{n-2}\right)\)
\(=-pS_n+S_{n-1}\)
=> (1) đúng với n +1
Vậy với mọi số tự nhiên n: \(S_{n+2}=-pS_{n+1}+S_n\)(1)
G/s: \(\left(S_n;S_{n+1}\right)=d\)
=> \(\hept{\begin{cases}S_{n+1}=-pS_n+S_{n-1}⋮d\\S_n⋮d\end{cases}}\Rightarrow S_{n-1}⋮d\)
=> \(\hept{\begin{cases}S_n=-pS_{n-1}+S_{n-2}⋮d\\S_{n-1}⋮d\end{cases}}\Rightarrow S_{n-2}⋮d\)
.....
Cứ tiếp tự như vậy
=> \(S_0⋮d;S_1⋮d\)
=> \(\hept{\begin{cases}2⋮d\Rightarrow d\in\left\{\pm1;\pm2\right\}\\-p⋮d\Rightarrow d\in\left\{\pm1;\pm p\right\}\end{cases}}\)
Mà p là số lẻ
=> d =1
=> \(S_n;S_{n-1}\)là hai số nguyên tố cùng nhau.
Có: \(\Delta=\left(m-2\right)^2\ge0\) => pt đã cho có nghiệm
Vi-et: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{cases}}\)
\(C=\frac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\frac{2m+1}{m^2+2}\)
đến đây xét delta ra min max..
Ta có \(\Delta=m^2-4\left(m-1\right)=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\ge0\)
=> PT luôn có 2 nghiệm x1;x2 với mọi m
Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{cases}}\)
Khi đó: \(B=\frac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(x_1x_2+1\right)}\)
\(B=\frac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2x_1x_2+2}\)
\(B=\frac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+3}=\frac{2\left(m-1\right)3}{m^2+2}=\frac{2m+1}{m^2+2}\)
=> 2B+1=\(2\cdot\frac{2m+1}{m^2+2}+1=\frac{4m+2+m^2+2}{m^2+2}=\frac{m^2+4m+4}{m^2+2}=\frac{\left(m+2\right)^2}{m^2+2}\)
Ta có (m+2)2 >=0; m2+2>0
<=> 2B+1 >=0 <=> \(B\ge\frac{-1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> m=-2
Vậy MinB=\(\frac{-1}{2}\)đạt được khi m=-2
1) Ta có : \(\Delta'=b'^2-ac=\left(-m\right)^2-1\cdot\left(m-2\right)=m^2-m+2\)
\(=m^2-2\cdot m\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\)
Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
2) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt :
\(\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{m+\sqrt{\Delta'}}{1}=m+\sqrt{\Delta'}\\x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{m-\sqrt{\Delta'}}{1}=m-\sqrt{\Delta'}\end{cases}}\)
Theo đề bài : \(x_1-x_2=m+\sqrt{\Delta'}-m+\sqrt{\Delta'}=2\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\Delta'}=2\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\Delta'}=\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=5\)
\(\Leftrightarrow m^2-m+2=5\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-3=0\)
\(\Leftrightarrow m^2-2\cdot m\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{13}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{13}{4}=\left(\frac{\pm\sqrt{13}}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{\sqrt{13}+1}{2}\\m=\frac{-\sqrt{13}+1}{2}\end{cases}}\)
Vậy....
Lời giải:
Với $x_1,x_2$ là nghiệm của $x^2-4x+1=0$, áp dụng định lý Viet ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=4\\ x_1x_2=1\end{matrix}\right.\).
Ta có:
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2=14$
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=4^3-3.4=52$
Do đó:
$x_1^{10}+x_2^{10}=(x^5+y^5)^2-2(xy)^5$
$=[(x^2+y^2)(x^3+y^3)-x^2y^2(x+y)]^2-2(xy)^5$
$=(14.52-4)^2-2\in\mathbb{Z}$ (đpcm)
Có \(\Delta=9-8=1>0\)
Nên pt luôn có 2 nghiệm
Theo hệ thức Vi-ét có
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=3\\x_1x_2=2\end{cases}}\)
*Lập pt bậc 2 ẩn y
Có \(S_y=y_1+y_2=x_1+\frac{1}{x_2}+x_2+\frac{1}{x_1}\)
\(=\left(x_1+x_2\right)+\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)
\(=3+\frac{3}{2}\)
\(=\frac{9}{2}\)
\(P_y=y_1.y_2=\left(x_1+\frac{1}{x_2}\right)\left(x_2+\frac{1}{x_1}\right)\)
\(=x_1x_2+1+1+\frac{1}{x_1x_2}\)
\(=2+2+\frac{1}{2}\)
\(=\frac{9}{2}\)
Vậy pt cần lập có dạng \(y^2-Sy+P=0\)
\(\Leftrightarrow y^2-\frac{9}{2}+\frac{9}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow2y^2-9y+9=0\)