Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ Với số dương ta luôn có \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) (Cauchy hoặc quy đồng chuyển vế sẽ chứng minh được dễ dàng). Ta cần chứng minh:
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+2\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\) (1)
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\ge2\) thì (1) trở thành:
\(a^2+2\ge3a\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\) (2)
Do \(a\ge2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1>0\\a-2\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) đúng, vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
2/ \(B=\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y\right)+12\left(x^2-2x\right)+3\left(y^2+6y\right)+2045\)
\(B=\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y+12\right)+3\left(y^2-6y+12\right)-36+2045\)
\(B=\left(x^2-2x+3\right)\left(y^2+6y+12\right)+2009\)
\(B=\left[\left(x-1\right)^2+2\right]\left[\left(y+3\right)^2+3\right]+2009\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2+2\ge2\\\left(y+3\right)^2+3\ge3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow B\ge2.3+2009=2015\)
\(\Rightarrow B_{min}=2015\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-3\end{matrix}\right.\)
\(BĐT\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\right)-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)\ge0\) (Luôn đúng vì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\forall x;y>0\))
Bạn ko hiểu về BĐT
\n\nĐể chứng minh 1 đề bài sai, bạn chỉ cần lấy 1 phản ví dụ là đủ
\n
Dat \(A=\frac{x^4+y^4}{x^4-y^4}-\frac{xy}{x^2-y^2}+\frac{x+y}{2\left(x-y\right)}\)
\(=\frac{2x^4+2y^4-2xy\left(x^2+y^2\right)+\left(x+y\right)^2\left(x^2+y^2\right)}{2x^4-2y^4}\)
\(=\frac{2x^4+2y^4+\left(x^2+y^2\right)\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]}{2x^4-2y^4}\)
\(=\frac{2x^4+2y^4+\left(x^2+y^2\right)^2}{2x^4-2y^4}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{2x^4+x^4}{2x^4}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow P=2017A\ge2017.\frac{3}{2}=\frac{6051}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(y=0\)
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) \Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)(1)
Đặt \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\), (1) trở thành \(t^2-3t+2\ge0\)(2)
(2) đúng khi \(t\le1\)hoặc \(t\ge2\), chú ý rằng theo bất đẳng thức AM - GM, ta có:
\(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{xy}}=2\)với x,y > 0
Do đó (2) đúng, suy ra (1) đúng ( đpcm ).
Lời giải:
BĐT đã cho tương đương với:
\((\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2+2-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\geq 0\)
\(\Leftrightarrow t^2+2-3t\geq 0\Leftrightarrow (t-1)(t-2)\geq 0(*)\) ( $t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$)
Ta thấy: \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}\).
Nếu $xy>0$: \(t=\frac{(x-y)^2}{xy}+2\geq 2\)
\(\Rightarrow (t-1)(t-2)\geq 0\Rightarrow (*)\) đúng
Nếu $xy< 0$: \(t=\frac{(x+y)^2}{xy}-2\leq -2\)
\(\Rightarrow (t-1)(t-2)\geq 0\Rightarrow (*)\) đúng.
Vậy $(*)$ luôn đúng, ta có đpcm.
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4+y^4+4x^2y^2}{x^2y^2}\ge\frac{3x^3y+3y^3x}{x^2y^2}\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+4x^2y^2-3x^3y-3xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-2xy+y^2\right)+y^2\left(x^2-2xy+y^2\right)-x^3y-xy^3+2x^2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)-xy\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrowđpcm."="\Leftrightarrow x=y\)