Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử \(x\ge y\ge z\).Khi đó:
\(5=x+y+z\le3x\le6\Leftrightarrow\frac{5}{3}\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)(*)
Mặt khác, vì \(0\le y,z\le2\)nên \(\left(y-2\right)\left(z-2\right)\ge0\Leftrightarrow yz\ge2\left(y+z\right)-4\)
\(\Leftrightarrow yz\ge2\left(5-x\right)-4=6-2x\)
Do đó:
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{3-x+2\sqrt{2}\sqrt{3-x}+2}\)
\(=\sqrt{x}+\sqrt{\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\)
Vì \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\right)^2=x+2\sqrt{x\left(3-x\right)}+3-x\)
\(=3+2\sqrt{3x-x^2}=3+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(2-x\right)+2}\ge3+2\sqrt{2}\)
\(=\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)(vì \(\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)theo (*)) nên \(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\ge\sqrt{2}+1\)
Vậy \(A\ge2\sqrt{2}+1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}0\le x,y,z\le2;x+y+z=5\\\left(x-1\right)\left(2-x\right)=0\\yz=6-2x\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2;z=1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(2\sqrt{2}+1\)đạt được khi \(\left(x,y,z\right)=\left(2,2,1\right)\)và các hoán vị
Không mất tính tổng quát, giả sử: \(x\ge y\ge z\). Khi đó:
\(5=x+y+z\le3x\le6\Rightarrow\frac{5}{3}\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)(*)
Mặt khác, vì \(0\le y,z\le2\)nên \(\left(y-2\right)\left(z-2\right)\ge0\Leftrightarrow yz\ge2\left(y+z\right)-4\)
\(\Leftrightarrow yz\ge2\left(5-x\right)-4=6-2x\)
Do đó: \(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{x}+\sqrt{y+z+2\sqrt{yz}}\)
\(\ge\sqrt{x}+\sqrt{5-x+2\sqrt{6-2x}}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x+2\sqrt{2}.\sqrt{3-x}+2}\)
\(=\sqrt{x}+\sqrt{\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\)
Ta có: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\right)^2=x+2\sqrt{x\left(3-x\right)}+3-x=3+2\sqrt{3x-x^2}\)
\(=3+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(2-x\right)+2}\ge3+2\sqrt{2}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)(theo (*))
Do đó \(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\ge1+\sqrt{2}\)
Vậy \(A\ge2\sqrt{2}+1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}0\le x,y,z\le2;x+y+z=5\\\left(x-1\right)\left(2-x\right)=0\\yz=6-2x\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2;z=1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(2\sqrt{2}+1\), đạt được khi \(\left(x,y,z\right)=\left(2,2,1\right)\)và các hoán vị.
\(0\le x,y,z\le1\Rightarrow x^{10}\le x;y^6\le y;z^{2016}\le z;0\le xyz\le1\)
CÓ: \(\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\ge0\)
=>\(1-xyz+\left(xy+yz+zx\right)-\left(x+y+z\right)\ge0\)
=>\(x+y+z-xy-yz-zx-xyz\le1\)
=>\(x^{10}+y^6+z^{2016}-xy-yz-zx\le1\)
Dấy "=" xảy ra <=> trong 3 số x,y,z có 1 số bằng 0, 2 số bằng 1 hoặc 1 số bằng 1, 2 số bằng 0
\(A=x^2+y^2+z^2\le\left(x+y+z\right)^2=9\)
gtln của A = 9
Với \(x=y=z=1\)
easy không ? =)
Có 0 <= x,y,z => xyz >= 0
Có x,y,z <=2 => (2-x)(2-y)(2-z)>=0 => 8 - 4(x+y+z) + 2(xy+yz+zx) -xyz >=0
Từ đó => 8 - 4(a+b+c) +2(ab+bc+ca)>=0
=> 8 - 4(a+b+c) + (a+b+c)^2 >= a^2+b^2+c^2
=> 8 -4.3 +3^2 >=A (vì x+y+z=3)
=> 5>= A
Dấu "=" xảy ra khi x=2,y=1,z=0
Vậy Max A =5 khi x=2,y=1,z=0
\(x^2y^2+1\ge2xy;y^2z^2+1\ge2yz;z^2x^2+1\ge2zx\)
\(\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge2\left(xy+yz+zx\right)-3\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)-3\le6\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-3\le6\)
\(\Rightarrow x+y+z\le3\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
\(0\le x;y;z\le2\Rightarrow\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow8+2\left(xy+yz+zx\right)-4\left(x+y+z\right)-xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(xy+yz+zx\right)\ge4+xyz\ge4\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge2\)
\(\Rightarrow Q=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\le9-2.2=5\)
\(Q_{max}=5\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;2\right)\) và hoán vị