Tìm gtnn P=
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời. Cho tam giác ABC vuông cân ở A ,M là trung điểm BC , điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc đường thằng BE). gọi giao điểm của CK và AM là N. Chứng minh KM là p/g của góc HKN C/m: \(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\) \(\Rightarrow2x^2+xy+2y^2\ge\dfrac{5}{4}\left(x^2+2xy+y^2\right)\) \(\Leftrightarrow8x^2+4xy+8y^2\ge5x^2+10xy+5y^2\) \(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\ge0\left(LĐ\right)\) Vậy \(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\) CMTT: \(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\); \(\sqrt{2z^2+zx+2x^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+z\right)\) Vậy H=\(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+xz+2z^2}\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)=2019\)Hmin=2019\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{\dfrac{2019}{\sqrt{5}}}{3}\) Xét nào:) Từ giả thiết suy ra x + y + z > 3 Ta có: \(P=2x^2+xy+2y^2=\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2\) Suy ra \(\sqrt{2x^2+xy+y^2}\ge\sqrt{\frac{5}{4}}.\left(x+y\right)=\frac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\) Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế: \(P\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)\ge3\sqrt{5}\) Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 Is it right?!? Vì \(x+y+z=2\) Ta có \(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x^2+xy\right)+\left(xz+yz\right)}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\) \(\le\frac{x+y+x+z}{2}=\frac{2x+y+z}{2}\) Tương tự \(\sqrt{2y+zx}\le\frac{x+2y+z}{2}\) và \(\sqrt{2z+xy}\le\frac{x+y+2z}{2}\) Do đó \(P\le\frac{2x+y+z}{2}+\frac{x+2y+z}{2}+\frac{x+y+2z}{2}=\frac{4\left(x+y+z\right)}{2}=\frac{4.2}{2}=4\) Vậy \(P\le4\) Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x+y=x+z\\y+x=y+z\\z+x=z+y\end{cases}}\) và x+y+z=2 \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=\frac{2}{3}\) Ta chứng minh điều sau: Nếu \(a,b>0\) thì \(2a^2+ab+2b^2\ge\frac{5\left(a+b\right)^2}{4}.\) Thực vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
K
Khách
E
Etermintrude💫
21 tháng 5 2021
Đúng(3)
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
Y
2 tháng 8 2016
N
21 tháng 2 2019
T
3 tháng 8 2019
TA
2 tháng 7 2017
9 tháng 3 2016
\(8a^2+4ab+8b^2\ge5\left(a^2+2ab+b^2\right)\Leftrightarrow3\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0.\)
Quay lại bài toán, áp dụng nhận xét ta được
\(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\frac{5\left(x+y\right)}{2},\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\frac{5\left(y+z\right)}{2},\sqrt{2z^2+zx+2x^2}\ge\frac{5\left(z+x\right)}{2}.\)
Cộng các bất đẳng thức lại ta sẽ được \(VT\ge\frac{5}{2}>\sqrt{5}.\)
