Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\Rightarrow4x+4y+4z+4\sqrt{xyz}=16\)
Ta lại có \(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x\left(16-4y-4z+yz\right)}=\sqrt{x\left(4x+4\sqrt{xyz}+yz\right)}=\sqrt{4x^2+4x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(2x+\sqrt{xyz}\right)^2}=2x+\sqrt{xyz}\)
Tương tự \(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}=2y+\sqrt{xyz}\)
\(\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}=2z+\sqrt{xyz}\)
Suy ra \(P=\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}+\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}-\sqrt{xyz}=2x+\sqrt{xyz}+2y+\sqrt{xyz}+2z+\sqrt{xyz}-\sqrt{xyz}=2x+2y+2z+2\sqrt{xyz}=2\left(x+y+z+\sqrt{xyz}\right)=2.4=8\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: \(\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x=3xy+3xz+\left(x+y+z\right)\ge3xy+3xz+3\sqrt[3]{xyz}\)\(=3xy+3xz+3\Rightarrow\frac{1}{\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x}\le\frac{1}{3\left(xy+xz+1\right)}\)
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức dạng \(u^3+v^3\ge uv\left(u+v\right)\), ta được: \(\frac{1}{3\left(xy+xz+1\right)}=\frac{1}{3\left[x\left(\left(\sqrt[3]{y}\right)^3+\left(\sqrt[3]{z}\right)^3\right)+1\right]}\le\frac{1}{3\left[x\sqrt[3]{yz}\left(\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)+1\right]}\)\(=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{3\left[\sqrt[3]{x^2}\left(\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)+\sqrt[3]{xyz}\right]}=\frac{\sqrt[3]{yz}}{3\left(\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}\right)}\)
Tương tự rồi cộng lại theo vế, ta được: \(P\le\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
cho x,y,z>0 và xyz=1. chứng minh rằng \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge1+x+y+z\)
Lời giải:
Sửa đề: \((x+y)(y+z)(x+z)\geq 2(1+x+y+z)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=9xyz\)
\(\Leftrightarrow xyz\leq \frac{(x+y+z)(xy+yz+xz)}{9}\)
Ta thực hiện biến đổi:
\((x+y)(y+z)(z+x)=xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz\)
\(=(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz\geq (x+y+z)(xy+yz+xz)-\frac{(x+y+z)(xy+yz+xz)}{9}\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)\)
Theo hệ quả của BĐT AM-GM:
\((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)=3(x+y+z)\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz\geq \sqrt{3(x+y+z)}\)
\(\Rightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)\sqrt{3(x+y+z)}\)
Ta sẽ cm \(\frac{8}{9}(x+y+z)\sqrt{3(x+y+z)}\geq 2(1+x+y+z)\)
Đặt \(\sqrt{3(x+y+z)}=t\). Dễ thấy \(x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\Rightarrow t\geq 3\)
Ta cần cm \(\frac{8}{9}.\frac{t^2}{3}.t\geq 2(1+\frac{t^2}{3})\Leftrightarrow 8t^3\geq 18(3+t^2)\)
\(\Leftrightarrow (t-3)(8t^2+6t+18)\geq 0\) (luôn đúng với \(t\geq 3\))
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
pt cái (x+y)(y+z)(z+x)=\(2xyz+z^2\left(x+y\right)+x^2\left(y+z\right)+y^2\left(x+z\right)\)
xét hiệu \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)-2\left(1+x+y+z\right)=2xyz+z^2\left(x+y\right)+y^2\left(x+z\right)+x^2\left(y+z\right)-2xyz-\left(x+y\right)-\left(y+z\right)-\left(x+y\right)\)\(z^2\left(x+y\right)\ge\left(x+y\right)\)(vì x;y;z>0)
tương tự
=> đpcm