MN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
XO
7 tháng 2 2022
b) Ta có \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}\)(BĐT Schwarz)
\(=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y+z}=\frac{y^2}{z+x}=\frac{z^2}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
XO
7 tháng 2 2022
a) Có \(P=1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)(BĐT Bunyakovsky)
\(=\sqrt{3.\left[2\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\right]}\)
\(\le\sqrt{3\left[4+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\sqrt{3\left(4+\frac{4}{3}\right)}=4\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2/3
19 tháng 10 2020
Bổ đề: \(2xy\le x^2+y^2\)
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{4}{2xy}\ge\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{4}{x^2+y^2}=\frac{5}{x^2+y^2}\ge5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
LC
16 tháng 10 2017
Ta có: \(\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)=\frac{1}{2}\)
=>\(\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}+xy-x\sqrt{y^2+1}-y\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2}\left(1\right)\)
Lại có: \(\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)=\frac{1}{2}\)
=>\(\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}.\frac{y^2+1-y^2}{\sqrt{y^2+1}+y}=\frac{1}{2}\)
=>\(\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)=2\)
=>\(\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}+xy+x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}=2\left(2\right)\)
Lấy (1)+(2) ta đc:
\(2\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}+2xy=\frac{5}{2}\)
=>\(\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=\frac{5}{4}-xy\)
=>\(x^2y^2+x^2+y^2+1=\frac{25}{16}-\frac{5}{2}xy+x^2y^2\)
=>\(x^2+y^2+\frac{5}{2}xy=\frac{9}{16}\)
=>\(\left(x+y\right)^2+\frac{1}{2}xy=\frac{9}{16}\)
Vì \(\frac{1}{2}xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{8}\)
=>\(\frac{9}{8}.\left(x+y\right)^2\ge\frac{9}{16}\)
=>\(x+y\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Vậy Min \(F=\frac{1}{\sqrt{2}}< =>x=y=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
Ta có:
Với \(x=0\), \(y^2=3\Rightarrow P=3\)
Với \(y=0\Rightarrow x^2=3\Rightarrow P=3\)
Với \(x\ne0,y\ne0\) thì ta có: \(\frac{P}{3}=\frac{x^2+y^2}{x^2-xy+y^2}=\frac{\frac{x^2+y^2}{xy}}{\frac{x^2-xy+y^2}{xy}}=\frac{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t\Rightarrow\frac{P}{3}=\frac{t+\frac{1}{t}}{t+\frac{1}{t}-1}=\frac{t^2+1}{t^2-t+1}\)
\(\Rightarrow Pt^2-Pt+P=3t^2+3\)
\(\Rightarrow\left(P-3\right)t^2-Pt+\left(P-3\right)=0\)
\(\Delta=P^2-4\left(P-3\right)^2=-3P^2+24P-36\)
Để \(\Delta\ge0\Rightarrow-3P^2+24P-36\ge0\Leftrightarrow2\le P\le6.\)
Khi P = 2 thì \(-t^2-2t-1=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow\frac{x}{y}=-1\)
Vậy thì \(x^2+x^2+x^2=3\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1,y=-1\\x=-1,y=1\end{cases}}\)
Vậy GTNN của P là 2 khi x = 1, y = -1 hoặc x = -1, y = 1