Question

[Vũ Thảo Vy]

cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: \(x^3\)+   \(y^3\)+    xy  =  x\(^2\)+   y\(^2\)

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức : P = \(\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}\)

Answer 1

[Nguyễn Vũ Thắng]

ĐKXĐ \(x,y\ge0\)

Ta có \(x^3+y^3+xy-x^2-y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y-1=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=1\)

Mà x,y\(\ge0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}0\le x\le1\\0\le y\le1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}0\le\sqrt{x}\le1\\0\le\sqrt{y}\le1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}1\le1+\sqrt{x}\le2\\\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2+\sqrt{y}}\ge\frac{1}{3}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow1\ge P\ge\frac{1}{3}\)

Nhận thấy p\(=\frac{1}{3}\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)(thỏa mãn)

Nhận thấy P\(=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)(thỏa mãn)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\le1\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x\le1\\y\ge0\end{cases}}\end{cases}}\)