Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
x+y=a+b => (x+y)2 =(a+b)2 => x2 +2xy+ y2 =a2 +2ab+b2 => xy=ab
ta sẽ chứng mính bằng phương pháp quy nạp.
Với n =1, n=2 thì đẳng thức đúng
Giả sử xn-1 +yn-1 = an-1 +bn-1; xn +yn = an +bn , ta sẽ chứng minh đẳng thức cũng đúng với n+1
\(x^{n+1}+y^{n+1}=\left(x^n+y^n\right)\left(x+y\right)-xy\left(x^{n-1}+y^{n-1}\right)=\left(a^n+b^n\right)\left(a+b\right)-\)ab(an-1 +bn-1 ) = an+1 + bn+1 (đúng)
vậy đẳng thức đúng với mọi n
+) Ta có : \(x^2+y^2=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-a^2=b^2-y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\) ( * )
+) Ta có : \(x+y=a+b\)
\(\Leftrightarrow x-a=b-y\)
Thay \(x-a=b-y\) vào ( * ) ta được :
\(\left(b-y\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b-y\right)\left(x+a\right)-\left(b-y\right)\left(b+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-y\right)\left[\left(x+a\right)-\left(b+y\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-y\right)\left(x+a-b-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b-y=0\\x+a-b-y=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=y\\x+a=b+y\end{cases}}\)
TH1 :\(b=y\)
\(\Rightarrow b-y=0\)
\(\Rightarrow x-a=0\)
\(\Rightarrow x=a\)
\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\) ( 1 )
TH2 : \(x+a=b+y\)
Mà \(x-a=b-y\)
\(\Rightarrow x+a+x-a=b+y+b-y\)
\(\Rightarrow2x=2b\)
\(\Rightarrow x=b\)
\(\Rightarrow a=y\)
\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\) ( 2 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 )
\(\Rightarrow\) đpcm
Theo bài ra ta có:
x + y = a + b => (x + y)2 = (a + b)2 <=> 2xy = 2ab <=> xy = ab
Do đó, x và y là nghiệm của PT: t2 -(a + b).t - ab = 0
\(\Delta=\left(a+b\right)^2-4ab=...=\left(a-b\right)^2\)
=> x = a hoặc x = b; y = b hoặc y = a
Từ đó hiển nhiên xn + yn = an + bn đúng.
B1) Từ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Rightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)
Ta có \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=x^2+y^2+z^2+2.0\)
\(=x^2+y^2+z^2\left(đpcm\right)\)
B2) \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\\\left(b-c\right)^2\ge0\forall b;c\\\left(c-a\right)^2\ge0\forall c;a\end{cases}\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c\left(đpcm\right)}\)
\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right).2=\left(ab+bc+ca\right).2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\\\left(b-c\right)^2\ge0\forall b,c\\\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,c\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)thì \(a=b=c\)
a) Ta có: \(2018^n-1964^n⋮3\)
\(2032^n-1984^n⋮3\)
nên An chia hết cho 3
Mà \(2018^n-1984^n⋮17\)
\(2032^n-1964^n⋮17\)
nên An chia hết cho 17
Vậy A chia hết cho 51
b) Ta có: An đồng dư 3^n +2^n-2.4^n (mod5)
và An đồng dư 2^n + 7^n -2^n-4^n (mod9)
Vậy An chia hết cho 45 khi n có dạng 12k
a, \(x^2+2x+2=\left(x^2+2x+1\right)+1=\left(x+1\right)^2+1\ge1>0\)
\(\Rightarrow\)Đa thức \(x^2+2x+2\) luông dương với mọi x
Vậy...
b, \(x^2-2x+y^2+4y+6\)
\(=x^2-2x+1+y^2+4y+4+1\)
\(=\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+1\ge1>0\)
\(\Rightarrow\)Đa thức \(x^2-2x+y^2+4y+6\) luôn dương với mọi x, y
Vậy...
Ta có :
\(x^2+y^2=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-a^2=b^2-y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)
Mà \(x+y=a+b\)
\(\Leftrightarrow x-a=b-y\)
+ Nếu \(x-a=b-y=0\Leftrightarrow x=a;b=y\) (1)
\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)
\(\Leftrightarrow0=0\left(TM\right)\)
+ Nếu \(x-a=b-y\ne0\Leftrightarrow x+a=b+y\)
\(\Leftrightarrow x-y=b-a\)
Lại có : \(x+y=a+b\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=2b\\-2y=-2a\end{cases}}\)Cái trên là cộng vế với vế 2 ptr, cái dưới là trừ vế cho vế của 2 ptr nhé )
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=b\\y=a\end{cases}}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Leftrightarrow x=a;y=b\)hoặc \(x=b;y=a\)
\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\)(đpcm)