Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) ta có : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}\)
\(=2\overrightarrow{MN}+\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DM}\right)+\left(\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\right)=2\overrightarrow{MN}\left(đpcm\right)\)
b) ta có : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JD}\)
\(=2\overrightarrow{IJ}+\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{CI}\right)+\left(\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JD}\right)=2\overrightarrow{IJ}\left(đpcm\right)\)
bn dùng định lí ta lét chứng minh được \(\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{IN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
C) ta có : \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}\)
\(=2\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BJ}\right)+\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{IA}\right)\)
\(=2\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{JD}\right)+\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CI}\right)=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{JM}+\overrightarrow{NI}\) \(=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}\left(đpcm\right)\)d) ta có : \(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JM}+\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{IJ}\left(đpcm\right)\)
A B C D I J
Áp dụng tính chất trung điểm ta có:
Do J là trung điểm của BD nên \(2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}\).
Theo quy tắc ba điểm: \(\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CD}\).
Vì vậy: \(2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CD}\)
\(=\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}\right)+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\right)\)
\(=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\) (ĐPCM).
a) Ta có: \(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} \)\( = 4\overrightarrow {EG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \)
Mà: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM} ;\) (do M là trung điểm của AB)
\(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN} \) (do N là trung điểm của CD)
\( \Rightarrow \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = 4\overrightarrow {EG} + 2(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} ) = 4\overrightarrow {EG} \) (do G là trung điểm của MN)
b) Vì E là trọng tâm tam giác BCD nên \(\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = \overrightarrow 0 \)
Từ ý a ta suy ra \(\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {EG} \)
c) Ta có: \(\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {EG} \Leftrightarrow \overrightarrow {EA} = 4.(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AG} ) \Leftrightarrow - 3\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {AG} \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AE} = 4\overrightarrow {AG} \) hay \(\overrightarrow {AG} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AE} \)
Suy ra A, G, E thẳng hàng và \(AG = \frac{3}{4}AE \) nên G thuộc đoạn AE.
Tất cả biểu thức đều là vecto, cái nào là độ dài thì nằm trong trị tuyệt đối:
\(\left|BD\right|=\sqrt{AB^2+AD^2}=a\sqrt{5}\)
\(\left|AC\right|=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{13}\)
a/ \(AB.BD=-BA.BD=-\left|AB\right|.\left|BD\right|.cos\widehat{ABD}\)
\(=-2a.a\sqrt{5}.\frac{2a}{a\sqrt{5}}=-4a^2\)
\(BC.BD=\left|BC\right|.\left|BD\right|.cos\widehat{DBC}=3a.a\sqrt{5}.\frac{a}{a\sqrt{5}}=3a^2\)
\(AC.BD=AC\left(BA+AD\right)=AC.BA+AC.AD\)
\(=AC.AD-AC.AB=\left|AC\right|.\left|AD\right|.cos\widehat{DAC}-\left|AB\right|.\left|AC\right|.cos\widehat{BAC}\)
\(=a.a\sqrt{13}.\frac{3a}{a\sqrt{13}}-2a.a\sqrt{13}.\frac{2a}{a\sqrt{13}}=-a^2\)
\(AC.IJ=\frac{1}{2}AC\left(AD+BC\right)=\frac{1}{2}AC.AD+\frac{1}{2}AC.BC\)
Ta có \(AC.AD=3a^2\) (ngay bên trên)
\(AC.BC=CA.CB=\left|CA\right|.\left|CB\right|.cos\widehat{BCA}=a\sqrt{13}.3a.\frac{3a}{a\sqrt{13}}=9a^2\)
\(\Rightarrow AC.IJ=6a^2\)
\(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}\)
\(=\overrightarrow{EI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{EJ}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{EI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{EJ}+\overrightarrow{JD}\)
\(=2\left(\overrightarrow{EI}+\overrightarrow{EJ}\right)+\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}\right)+\left(\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JD}\right)=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}\)