Question

[Diệu Âm]

Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q, E, F là trung điểm của AB, BC, CD, DA, AC, BD. Chứng minh: 

1) MN=PQ                   

2) tứ giác MEPF là hình bình hành .

3) MP,NQ ,EF đồng quy .

GIúp mình vs ạ=))Mình cần gấp ạ! Cả hình nữa ạ! 

Answer 1

[Hoàng Ninh]

Hình tự vẽ nhé :)))

1)

Xét ΔABC ta có:

+) M là trung điểm của AB

+) N là trung điểm của BC

Do vậy MN là đường trung bình của ΔBAC

\(\Rightarrow MN//AC;MN=\frac{AC}{2}\) (*)

Xét ΔADC ta có:

+) Q là trung điểm của AD

+) P là trung điểm của DC

Do vậy QP là đường trung bình của ΔADC

\(\Rightarrow QP//AC;QP=\frac{AC}{2}\) (**)

Từ (*) và (**) => MN = QP

2)

Xét ΔABC ta có:

+) M là trung điểm của AB

+) E là trung điểm của AC

Do vậy ME là đường trung bình của ΔBAC

\(\Rightarrow ME//BC;ME=\frac{BC}{2}\) (***)

Xét ΔBDC ta có:

+) F là trung điểm của BD

+) P là trung điểm của DC

Do vậy FP là đường trung bình của ΔBDC

\(\Rightarrow FP//BC;FP=\frac{BC}{2}\) (****)

Từ (***) và (****) => MEPT là hình bình hành (hay \(FP//ME;FP=ME\))

3)

Xét tứ giác MNPQ ta có:

+) \(MN//PQ\)

+) MN = PQ

Mà MNPQ là hình bình hành

=> Hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà MP và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

=> MP; NQ; EF đồng quy