Question

[Pham Trong Bach]

Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi A 1 B 1 C 1 D 1 là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC và có thể tích V 1 . Gọi A 2 B 2 C 2 D 2 là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm tam giác B 1 C 1 D 1 , C 1 D 1 A 1 , D 1 A 1 B 1 , A 1 B 1 C 1  và có thể tích V 2  … cứ như vậy cho tứ diện A n B n C n D n có thể tích V n  với n là số tự nhiên lớn hơn 1. Tính giá trị của biểu thức P = lim n → + ∞ V + V 1 + ... + V n .

A. 27 26 V  

B.  1 27 V

C.  9 8 V

D.  82 81 V

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A

Gọi M là trung điểm của AC và đặt độ dài AB = x

Vì  B 1 , D 1 là trọng tâm tam giác  A B C , A C D ⇒ M D 1 M B = M B 1 M D = 2 3

Suy ra:

B 1 D 1 / / B D ⇒ B 1 D 1 B D = M 1 D 1 M B = 1 3 ⇒ B 1 D 1 = B D 3

Tương tự, ta được A 1 B 1 C 1 D 1 là tứ diện đều cạnh x 3 ⇒ V V 1 = 27 ⇔ V 1 = V 3 3

Khi đó V 2 = V 1 3 3 = V 3 3.3 ; V 4 = V 3 3.4 → V n − V 3 3 n

Suy ra V + V 1 + ... + V n

= V 1 + 1 3 3 + 1 3 6 + 1 3 9 + ... + 1 3 3 n = V . S

Tống S là tổng của cấp số nhân với:

u 1 = 1 ; q = 1 27 ⇒ S = 1 − 1 27 1 − 1 27 n = 27. 1 − 27 − n 26

Vậy P = lim x → ∞ V .27 1 − 27 − n 26 = 27 26 V

vì  lim x → + ∞ 27 − n = lim x → + ∞ 1 27 n = 0