Question

[Kasumi_Uyama7a]

Cho tam giác vuông có ba cạnh a, b, c là số nguyên.

Tìm tất cả trường hợp của tam giác vuông này thỏa mãn điều kiện diện tích bằng hai lần chu vi tam giác?

Answer 1

[Phan Nghĩa]

ab/2 = 2(a + b + c)

ab/4 = a + b + c 

 (ab/4 - a - b)² = c²

Theo Pytago ta có a² + b² = c².

Suy ra (ab/4 - a - b)² = a² + b²

 a²b²/16 + a² + b² + 2ab - a²b/2 - ab²/2 = a² + b²

a²b²/16 - a²b/2 - ab²/2 + 2ab = 0

ab(ab/16 - a/2 - b/2 + 2) = 0

Vì ab ≠ 0 nên ta có ab - 8a - 8b + 32 = 0. 

Hay ab - 8a - 8b + 64 - 32 = 0 

a (b - 8) - 8(b - 8) = 32

(a - 8)(b - 8) = 32 = 1 x 32 = 8 x 4 = 2 x 16.

Các cặp (a - 8; b - 8) tương ứng là (1; 32), (8; 4), (2; 16).

Suy ra các cặp (a; b) tương ứng là (9; 40), (16; 12) và (10; 24). Từ đó suy ra c tương ứng trong các trường hợp lần lượt là 41; 20 và 26.

Vậy, các trường hợp của tam giác vuông có cạnh (a; b; c) thỏa mãn đề bài là
(9; 40; 41); (16; 12; 20) và (10; 24; 26).

Answer 2

[๖Fly༉Donutღღ]

Vì diện tích tam giác bằng 2 lần chu vi ta có : 

\(\frac{ab}{2}=2\left(a+b+c\right)\)

\(\frac{ab}{4}=a+b+c\)

\(\left(\frac{ab}{4}-a-b\right)^2=c^2\)

Theo đeịnh lý PITAGO :

\(a^2+b^2=c^2\)\(\Rightarrow\)\(\left(\frac{ab}{4}-a-b\right)^2=a^2+b^2\)

\(\frac{a^2b^2}{16}+a^2+b^2+2ab-\frac{a^2b}{2}-\frac{ab^2}{2}=a^2+b^2\)

\(\frac{a^2b^2}{16}-\frac{a^2b}{2}+2ab=0\)

\(ab\left(\frac{ab}{16}-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}+2\right)=0\)

Hay \(ab-8a-8b+32=0\)

\(a\left(b-8\right)-8\left(b-8\right)=32\)

\(\left(a-8\right)\left(b+8\right)=32=32.1=8.4=16.2\)

Các cặp ( a - 8 ; b - 8 ) tương ứng là ( 1 ; 32 ) ; ( 8 ; 4 ) ; ( 2 ; 16 ) 

Suy ra các cặp ( a ; b ) tương ứng là ( 9 ; 14 ) ; ( 16 ; 12 ) ; ( 10 ; 24 ) . Suy ra c tương ứng trong các trường hợp là 41 ; 20 và 26 

Vậy các trường hợp của tam giác vuông có cạnh ( a ; b ; c ) thỏa mãn đề bài là ( 9 ; 40 ; 41 ) ; ( 16 ; 12 ; 20 ) ; ( 10 ; 24 ; 26 )