Question

[lục nhất sinh]

Cho tam giác SHB vuông tại S (SH < SB), có đường cao SC (C vuông góc HB).

a)   Cho SH = 21, HB = 35. Tính SB, BC.

b)   Gọi T, V lần lượt là hình chiếu của C trên SH và SB. Chứng minh  ST.SH = SV.SB.

c)   Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với TV, đường thẳng này cắt HB tại M.

      Đặt  HSM = x. Chứng minh  HT = HB.cos³x.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: ΔSHB vuông tại S

=>\(SH^2+SB^2=HB^2\)

=>\(SB^2=35^2-21^2=\left(35-21\right)\left(35+21\right)=14\cdot56=14\cdot14\cdot4=14^2\cdot2^2=28^2\)

=>SB=28

Xét ΔBSH vuông tại S có SC là đường cao

nên \(BC\cdot BH=BS^2\)

=>\(BC=\frac{28^2}{35}=22,4\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔSCH vuông tại C có CT là đường cao

nên \(ST\cdot SH=SC^2\left(1\right)\)

Xét ΔSCB vuông tại C có CV là đường cao

nên \(SV\cdot SB=SC^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(ST\cdot SH=SV\cdot SB\)

c: Xét tứ giác STCV có \(\hat{STC}=\hat{SVC}=\hat{VST}=90^0\)

nên STCV là hình chữ nhật

=>\(\hat{SVT}=\hat{SCT}\)

mà \(\hat{SCT}=\hat{SHC}\left(=90^0-\hat{CSH}\right)\)

nên \(\hat{SVT}=\hat{SHB}\)

Ta có: SM⊥VT

=>\(\hat{MSV}+\hat{SVT}=90^0\)

mà \(\hat{SVT}=\hat{SHB}\)

và \(\hat{SHB}+\hat{SBM}=90^0\) (ΔSHB vuông tại S)

nên \(\hat{MSB}=\hat{MBS}\)

=>MB=MS

Ta có: \(\hat{MSH}+\hat{MSB}=\hat{HSB}=90^0\)

\(\hat{MHS}+\hat{MBS}=90^0\) (ΔBSH vuông tại S)

mà \(\hat{MSB}=\hat{MBS}\)

nên \(\hat{MSH}=\hat{MHS}\)

=>MS=MH

mà MB=MS

nên MH=MB

=>M là trung điểm của BH

MS=MH nên ΔMSH cân tại M

=>\(\hat{MSH}=\hat{MHS}=\hat{BHS}\)

=>\(x=\hat{BHS}\)

Xét ΔBSH vuông tại S có \(cosH=\frac{SH}{HB}\)

Xét ΔSCH vuông tại C có \(cosH=\frac{CH}{HS}\)

Xét ΔHTC vuông tại T có \(cosH=\frac{HT}{HC}\)

Do đó: \(cosH\cdot cosH\cdot cosH=\frac{SH}{HB}\cdot\frac{HC}{HS}\cdot\frac{HT}{HC}=\frac{HT}{HB}\)

=>\(\frac{HT}{HB}=cos^3x\)

=>\(HT=HB\cdot cos^3x\)