Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Tứ giác BCEF có \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^0\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow BCEF\)là tứ giác nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{E_1}\)
\(\Delta PBE\)và \(\Delta PFC\)có: \(\widehat{EPC}\)chung; \(\widehat{E_1}=\widehat{C_1}\)
\(\Rightarrow\Delta PBE\)
\(\Delta PFC\)(g.g)
\(\Rightarrow\frac{PB}{PF}=\frac{PE}{PC}\Rightarrow PB.PC=PE.PF\)
Tứ giác BDHF có \(\widehat{BDH}=\widehat{BFH}=90^0\)(gt)
\(\widehat{BDH}+\widehat{BFH}=180^0\)
\(\Rightarrow\)BDHF là tứ giác nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\)
Gọi J là trung điểm của AH. Dễ thấy \(\Delta HEF\)nội tiếp đường tròn \(\left(J;\frac{AH}{2}\right)\)
Tứ giác HEKF nội tiếp đường tròn (J)
\(\Rightarrow\widehat{F_1}=\widehat{HEK}\left(=180^0-\widehat{HFK}\right)\)
Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{HEK}\)
\(\Rightarrow KE//BC\left(đpcm\right)\)
b) Tứ giác BCEF nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{HFE}\)
Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\Rightarrow\widehat{DFE}=2\widehat{B_1}\)(1)
\(\Delta EBC\)vuông tại E, đường trung tuyến EI
\(\Rightarrow IB=IE=\frac{1}{2}BC\Rightarrow\Delta IBE\)cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{I_1}=2\widehat{B_1}\)(t/c góc ngoài của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Rightarrow\widehat{I_1}=\widehat{DFE}\)
\(\Rightarrow DIEF\)là tứ giác nội tiếp.
Dễ chứng minh được \(\Delta PDF\)\(\Delta PEI\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow PD.PI=PE.PF\)
và \(\Delta PHE\)\(\Delta PFQ\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow PE.PF=PH.PQ\)
\(\Rightarrow PD.PI=PH.PQ\Rightarrow\frac{PD}{PQ}=\frac{PH}{PI}\)
\(\Rightarrow\Delta PDH\)\(\Delta PQI\)(c.g.c)\(\Rightarrow\widehat{PHD}=\widehat{PIQ}\)
Lại có \(\widehat{PHD}=\widehat{AHQ}=\widehat{AFQ}\)
\(\Rightarrow BIOF\)là tứ giác nội tiếp.
Em không vẽ được hình, xin thông cảm
a, Ta có góc EAN= cungEN=cung EC+ cung EN
Mà cung EC= cung EB(E là điểm chính giữa cung BC)
=> góc EAN=cungEB+ cung EN=góc DFE (tính chất góc ở giữa)
=> tam giác AEN đồng dạng tam giác FED
Vậy tam giác AEN đồng dạng tam giác FED
b,Ta có EC=EB=EM
Tam giác EMC cân tại E => EMC=ECM
MÀ EMC+AME=180, ECM+ABE=180
=> AME = ABE
=> tam giác ABE= tam giác AME
=> AB=AM => tam giác ABM cân tại A
Mà AE là phân giác => AE vuông góc BM
CMTT => AC vuông góc EN
MÀ AC giao BM tại M
=> M là trực tâm tam giác AEN
Vậy M là trực tâm tam giác AEN
c, Gọi H là giao điểm OE với đường tròn (O) (H khác E) => O là trung điểm của EH
Vì M là trực tâm của tam giác AEN
=> \(EN\perp AN\)
Mà \(OI\perp AN\)(vì I là trung điểm của AC)
=> \(EN//OI\)
MÀ O là trung điểm của EH
=> I là trung điểm của MH (đường trung bình trong tam giác )
=> tứ giác AMNH là hình bình hành
=> AH=MN
Mà MN=NC
=> AH=NC
=> cung AH= cung NC
=> cung AH + cung KC= cung KN
Mà cung AH+ cung KC = góc KMC(tính chất góc ở giữa 2 cung )
NBK là góc nội tiếp chắn cung KN
=> gócKMC=gócKBN
Hay gócKMC=gócKBM
=> CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK( ĐPCM)
Vậy CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK
B1, a, Xét tứ giác AEHF có: góc AFH = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
góc AEH = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
Góc CAB = 90o ( tam giác ABC vuông tại A)
=> tứ giác AEHF là hcn(đpcm)
b, do AEHF là hcn => cũng là tứ giác nội tiếp => góc AEF = góc AHF ( hia góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
mà góc AHF = góc ACB ( cùng phụ với góc FHC)
=> góc AEF = góc ACB => theo góc ngoài tứ giác thì tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp (đpcm)
c,gọi M là giao điểm của AI và EF
ta có:góc AEF = góc ACB (c.m.t) (1)
do tam giác ABC vuông tại A và có I là trung điểm của cạng huyền CB => CBI=IB=IA
hay tam giác IAB cân tại I => góc MAE = góc ABC (2)
mà góc ACB + góc ABC + góc BAC = 180o (tổng 3 góc trong một tam giác)
=> ACB + góc ABC = 90o (3)
từ (1) (2) và (3) => góc AEF + góc MAE = 90o
=> góc AME = 90o (theo tổng 3 góc trong một tam giác)
hay AI uông góc với EF (đpcm)