Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TL:
a,G là trọng tâm của tam giác ABC nên GD =1/2 BG suy ra GM= GD
Tương tự EG=GN suy ra MNDE là hình bình hành
a) Trong tam giác ABC , có :
EA = EB ( CE là trung tuyến )
DA = DC ( DB là trung tuyến )
=> ED là đường trung bình của tam giác ABC
=> ED // BC (1) , DE = 1/2 BC (2)
Trong tam giác GBC , có :
MG = MB ( gt)
NG = NC ( gt)
=> MN là đương trung bình của tam giác GBC
=> MN // BC (3) , MN = 1/2 BC (4)
Từ 1 và 2 => ED // MN ( * )
Từ 3 và 4 => ED = MN ( **)
Từ * và ** => EDMN là hbh ( DHNB )
E, F là trung điểm của AD và BC (đề bài) => EF là đường trung bình của ht ABCD => EF//AB//CD
+ Xét tg ABD có
E là trung điểm AD (đề bài)
EI//AB
=> EI là đường trung bình của tg ABD => EI=AB/2 (1)
+ Xét tg ABC chứng minh tương tự cũng có KF=AB/2 (2)
Từ (1) và (2) => EI=KF
+ Xét tg BCD chứng minh tương tự có IF=(IK+KF)=CD/2
⇒IF−EI=IK+KF−EI=IK=CD2−AB2=CD−AB2.⇒IF−EI=IK+KF−EI=IK=CD2−AB2=CD−AB2.
b/ Câu b dựa vào KQ của câu a
+ ΔABD có DE = EA và DK = KB
⇒ EK là đường trung bình của ΔDAB
⇒ EK // AB
+ Hình thang ABCD có: AE = ED và BF = FC
⇒ EF là đường trung bình của hình thang ABCD
⇒ EF // AB// CD
+ Qua điểm E ta có EK // AB và EF // AB nên theo tiên đề Ơclit ta có E, K, F thẳng hàng.
Xét ΔBDC có
E là trung điểm của BD(BE=ED; B,E,D thẳng hàng)
M là trung điểm của BC(gt)
Do đó: EM là đường trung bình của ΔBDC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒⇒ME//CD(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
hay ME//ID
Xét ΔAEM có
D là trung điểm của AE(AD=DE; A,D,E thẳng hàng)
DI//EM(cmt)
Do đó: I là trung điểm của AM(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
nên AI=IM(đpcm)
HT
a) BD, CE là các đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\)DA = DC; EA =EB
\(\Rightarrow\)ED là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\)ED // BC; ED = 1/2 BC
\(\Delta GBC\)có MG = MB; NG = NC
\(\Rightarrow\)MN là đường trung bình của \(\Delta GBC\)
\(\Rightarrow\)MN // BC; MN = 1/2 BC
suy ra: MN // ED; MN = ED
\(\Rightarrow\)tứ giác MNDE là hình bình hành
c) MN = ED = 1/2 BC
\(\Rightarrow\)MN + ED = \(\frac{BC}{2}\)+ \(\frac{BC}{2}\)= BC
Lời giải:
a. $D,E,F$ là trung điểm $MN,NP,MP$ nên $EF, DE$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với lần lượt 2 cạnh $MN, MP$
$\Rightarrow EF\parallel MN, DE\parallel MP$
Mà $MN\perp MP$ nên $EF\perp MP, DE\perp MN$
$\Rightarrow \widehat{EFM}=\widehat{EDM}=90^0$
Tứ giác $MDEF$ có 3 góc vuông $\widehat{M}=\widehat{D}=\widehat{F}$ nên là hình chữ nhật.
b.
Gọi $I'$ là giao điểm $NF$ và $DE$
Do $DE\parallel MP$ nên $DI'\parallel MF$
Áp dụng định lý Talet:
$\frac{DI'}{MF}=\frac{ND}{NM}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow MF=2DI'$
Mà $MF=DE$ (do $MFED$ là hcn)
$\Rightarrow DE=2DI'$
$\Rightarrow I'$ là trung điểm của $DE$
$\Rightarrow I\equiv I'$
Mà $I', N, F$ thẳng hàng nên $I, N, F$ thẳng hàng.
c.
Có: $\frac{NI}{NF}=\frac{ND}{NM}=\frac{1}{2}$ nên $I$ là trung điểm $NF$
$DF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$
$\Rightarrow DF=\frac{1}{2}NP\Rightarrow ME=DF=\frac{1}{2}NP$.
Khi đó ta có:
$NF.ME-IF.PE = 2IF.\frac{1}{2}NP-IF.PE$
$=IF.NP-IF.PE = IF(NP-PE) = IF.NE$
Hình vẽ: