Question

[Vinh Nguyễn Thành]

Cho tam giác ADE vuông tại A, đường cao AH.Biết AD=8cm,DE=17cm

a) CM tam giác HAE đồng dạng với tam giác HDA

b) Tính HA,HD

c) Gọi M là Trung điểm AH, trên tia DA lấy điểm K sao cho A là trugn điểm của DK.CM tam giác HDK đồng dạng với tam giác MAE

d) CM \(\dfrac{1}{AH^2}\) =\(\dfrac{1}{AD^2}\)+\(\dfrac{1}{AE^2}\) (ko dùng số đo ở các câu trên)

Answer 1

[Trần Quốc Lộc]

D A E H M K

a) Xét \(\Delta HAE\) và \(\Delta HDA\) có :\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AHE}=\widehat{AHD}=90^0\left(gt\right)\\\widehat{HAE}=\widehat{HDA}\left(cùng\text{ }phụ\text{ }với\text{ }E\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta HAE\sim\Delta HDE\left(g.g\right)\)

b) Áp dụng định lý \(Py-ta-go\) vào \(\Delta ADE\) có \(\widehat{DAE}=90^0\)

\(\Rightarrow AD^2+AE^2=DE^2\\ \Rightarrow AE^2=DE^2-AE^2=17^2-8^2=225\\ \Rightarrow AE=15\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta HDA\) và \(\Delta ADE\) có :\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{DHA}=\widehat{DAE}=90^0\left(gt\right)\\\widehat{D}\text{ }chung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta DHA\sim\Delta DAE\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{HD}{AD}=\dfrac{AD}{ED}\\ \Rightarrow\dfrac{AH}{15}=\dfrac{HD}{8}=\dfrac{8}{17}\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{15\cdot8}{17}=7,06\left(cm\right)\\HD=\dfrac{8\cdot8}{17}=3,76\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(\text{c) Ta có }:\Delta HDA\sim\Delta HAE\\ \Rightarrow\dfrac{DH}{AH}=\dfrac{AD}{AE}\\ \Rightarrow AH\cdot AD=DH\cdot AE\\ \Rightarrow2AM\cdot\dfrac{1}{2}DK=DH\cdot AE\\ \Rightarrow AM\cdot DK=DH\cdot AE\\ \Rightarrow\dfrac{DK}{AE}=\dfrac{HD}{AM}\)

Xét \(\Delta HDK\) và \(\Delta MAE\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HDK}=\widehat{MAE}\left(cùng\text{ }phụ\text{ }\widehat{E}\right)\\\dfrac{DK}{AE}=\dfrac{HD}{AM}\left(Chứng\text{ }minh\text{ }trên\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta HDK\sim\Delta MAE\left(c.g.c\right)\)

d) Xét \(\Delta HAE\) và \(\Delta ADE\) có :\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AHE}=\widehat{DAE}=90^0\left(gt\right)\\\widehat{E}\text{ }chung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta HAE\sim\Delta ADE\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{AE}{DE}=\dfrac{HE}{AE}\\ \Rightarrow AE^2=DE\cdot HE\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{1}{DE\cdot HE}\left(1\right)\)

\(Lại\text{ }có\text{ }:\dfrac{HD}{AD}=\dfrac{AD}{ED}\\ \Rightarrow AD^2=HD\cdot ED\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{HD\cdot ED}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{1}{DE\cdot HE}+\dfrac{1}{HD\cdot ED}\)

\(=\dfrac{1}{DE\cdot HE}+\dfrac{1}{HD\cdot ED}\\ =\dfrac{HD}{HD\cdot DE\cdot HE}+\dfrac{HE}{HD\cdot ED\cdot HE}\\ =\dfrac{HD+HE}{HD\cdot DE\cdot HE}=\dfrac{ED}{HD\cdot DE\cdot HE}=\dfrac{1}{HD\cdot HE}\left(3\right)\)

\(Lại\text{ }có\text{ }:\Delta HDA\sim\Delta HAE\\ \Rightarrow\dfrac{DH}{AH}=\dfrac{AH}{EH}\\ \Rightarrow AH^2=DH\cdot EH\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{DH\cdot EH}\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AE^2}\)