Question

[Phạm Vũ Tuấn Anh]

Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AD.Gọi M là trung điểm của AB.Chứng minh

a) Đường tròn tâm O đường kính AC đi qua D

b)MD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

A B C D M O

a/ 

Gọi D' là giao của đường tròn (O) với BC; nối A với D'

\(\Rightarrow\widehat{AD'C}=90^o\) (Góc nt chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow AD'\perp BC\) mà \(AD\perp BC\) (gt) \(\Rightarrow AD\equiv AD'\) (từ 1 điểm chỉ duy nhất dựng được 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước) \(\Rightarrow D\equiv D'\) mà \(D'\in\left(O\right)\Rightarrow D\in\left(O\right)\)

b/

Xét tg vuông ADC có

\(OA=OC=\dfrac{AC}{2}\Rightarrow OD=\dfrac{AC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạng huyền)

=> OA=OD => tg OAD cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OAD}=\widehat{ODA}\)  (1)

Chứng minh tương tự khi xét tg vuông ABD

=> tg MAB cân tại M \(\Rightarrow\widehat{MAD}=\widehat{MDA}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{OAD}+\widehat{MAD}=\widehat{ODA}+\widehat{MDA}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{MDO}=90^o\Rightarrow MD\perp OD\) mà OD là bán kính của (O)

=> MD là tiếp tuyến của (O) (theo định nghĩa tiếp tuyến)

Answer 2

[Nguyễn Đình Gia Hưng]

B D M O C

a)Ta có O là trung điểm AC

=>DO là đường trung tuyến của tam giác ACD vuông ở D

=>OC=OA=OD

=>dpcm

b)Ta có OA=OD

=>góc ODA=góc OAD

CMTT: góc MDA=góc MAD

=>góc BAC=góc MDO=90 độ

=>MD vuông góc vói OD

=>dpcm