Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
DC = DA
OA = OC
Do đó OD là trung trực của đoạn thẳng AC : suy ra OD vuông góc với AC
Tứ giác OECH có góc CEO + góc CHO = 180 độ
Suy ra tứ giác OECH là tứ giác nội tiếp
a, ta có \(\widehat{ADB}\)là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn => \(\widehat{ADB}=90^0\)hay \(\widehat{EDB}=90^0\)
Xét tứ giác BDEH có :
\(\widehat{EHB}=90^0\left(CH\perp AB\right)\)
\(\widehat{EDB}=90^0\left(cmt\right)\)
=> tugiac BDEH noi tiep
b,
ta có \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\)( BDEH noitiep cmt)
mà \(\widehat{ABC}+\widehat{CAB}=90^0\)(góc ACB=90 độ, góc nt chắn nửa đg tròn)
\(\widehat{ACH}+\widehat{CAB}=90^0\)( góc AHC=90 độ vì CH vuông với AB)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACH}\)
=> \(\widehat{ACH}=\widehat{ADC}\left(=\widehat{ABC}\right)\)hay góc ADC= góc ACE
Xét tam giác ACE và tam giác ADC
\(\widehat{ADC}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)
góc CAD chung
=> tam giác ACE đồng dạng với tam giác ADC (g-g)
=> \(\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}\)
=> \(AC^2=AD.AE\)(1)
Tam giác ABC vuông tại C có AH là đường cao
=> BC2= BH.BA (hethucluong) (2)
(1);(2) => \(AC^2+BC^2=AE.AD+BH.BA\)
mà AC2+ BC2= AB2 ( pytago trong tam giác ABC vuông ở C)
=> \(AB^2=AE.AD+BH.BA\)
a) Chứng minh tứ giác AECD nội tiếp đường tròn: Ta có AD // BC (do d // BC) => góc DAC = góc ACB (so le trong) Lại có DC // AB (do d' // AB) => góc DCA = góc CAB (so le trong) Mà tam giác ABC vuông tại A nên góc CAB + góc ACB = 90 độ => góc DAC + góc DCA = 90 độ => góc D = 180 độ - (góc DAC + góc DCA) = 90 độ Tứ giác AECD có góc A = 90 độ (gt) và góc D = 90 độ (cmt) => góc A + góc D = 180 độ Vậy tứ giác AECD nội tiếp đường tròn (dhnb) b) Chứng minh góc AOF = 2 góc CAE: Gọi I là giao điểm của AE và đường tròn (O) Ta có góc AIE = góc AIC (hai góc đối đỉnh) Mà góc AIC = góc ABC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) => góc AIE = góc ABC Lại có góc ABC = góc DAC (so le trong) => góc AIE = góc DAC => góc AIE + góc AEB = góc DAC + góc CAE => góc AIB = góc EAD Mà góc AIB = 1/2 góc AOB (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm) => 2 góc AIB = góc AOB Lại có góc AOB = góc AOF (hai góc đối đỉnh) => 2 góc AIB = góc AOF Mà góc AIB = góc CAE (so le trong) => 2 góc CAE = góc AOF Vậy góc AOF = 2 góc CAE (đpcm) c) Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành: Ta có góc AEF = 90 độ (do AE vuông góc BD) Mà góc BAC = 90 độ (gt) => góc AEF = góc BAC => EF // AC (hai đường thẳng cùng vuông góc với BD) Lại có AF là đường kính của đường tròn (O) => góc ACF = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Mà góc AEB = 90 độ (do AE vuông góc BD) => góc ACF = góc AEB => CF // AE (hai đường thẳng cùng vuông góc với AC) Tứ giác AECF có EF // AC (cmt) và CF // AE (cmt) => tứ giác AECF là hình bình hành (dhnb) d) Chứng minh DF.DB = 2AB² và CD² = DF.DI: Gọi K là giao điểm của AC và BD Tam giác ABK vuông tại A có AK là đường cao => AB² = BK.BD (hệ thức lượng trong tam giác vuông) Mà BK = 1/2 BD (do BD là đường trung tuyến của tam giác ABC) => AB² = 1/2 BD.BD = 1/2 BD² => 2AB² = BD² Mà BD = BF + DF => 2AB² = (BF + DF)² Ta có BF là đường kính của đường tròn (O) => BF = 2R (R là bán kính đường tròn (O)) Mà AB = R (do tam giác ABC vuông tại A) => BF = 2AB => 2AB² = (2AB + DF)² => 2AB² = 4AB² + 4AB.DF + DF² => 2AB² + 4AB.DF + DF² = 0 => (DF + 2AB)² = 0 => DF + 2AB = 0 => DF = -2AB (vô lý) Vậy chứng minh DF.DB = 2AB² là sai Ta có CD² = CF² + DF² (do tam giác CDF vuông tại F) Mà CF = AE (do AECF là hình bình hành) => CD² = AE² + DF² Ta có AE² = AD.AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD) => CD² = AD.AB + DF² Ta có DF.DI = DF(DF + FI) = DF² + DF.FI Mà DF.FI = AF.FC (hệ thức lượng trong đường tròn (O)) => DF.DI = DF² + AF.FC Ta có AD.AB = AF.FC (do AECF là hình bình hành) => CD² = AD.AB + DF² = AF.FC + DF² = DF.DI Vậy CD² = DF.DI (đpcm)