Question

[Vũ Hải Đăng]

Cho tam giác ABC vuông tại A. trung trực d của AB cắt BC tại M. Chứng minh M thuộc đường trung trực của AC. Giúp mình với mình cần gấp lắm ạ.

Answer 1

[Phước Lộc]

A B C M d H K x x Δ

Gọi \(AB\cap d=\left\{H\right\}\)

Gọi đường trung trực của \(AC\) là \(\Delta\) (đenta), \(\Delta\cap AC=\left\{K\right\}\)

Nối H với K.

Ta có: \(HM\text{ // }AC\) (vì cùng vuông góc với AB)

Xét \(\bigtriangleup ABC\), có:

H là trung điểm AB, HM // AC (c/m trên)

⇒ MB = MC ⇒ M là trung điểm của BC

Ta thấy: \(AH=BH,BM=MC\) ⇒ HM là đường trung bình của \(\bigtriangleup ABC\)

\(\Rightarrow HM=\dfrac{1}{2}AC\Rightarrow AK=KC=HM\) (K là trung điểm AC)

Xét \(\bigtriangleup HBM\) và \(\bigtriangleup KMC\), có:

\(BM=MC\) (vì M là trung điểm BC, c/m trên)

\(\widehat{BMH}=\widehat{MCK}\) (vì HM // AC)

\(HM=KC\) (c/m trên)

\(\Rightarrow\bigtriangleup HBM=\bigtriangleup KMC\)

\(\Rightarrow\widehat{MBH}=\widehat{CMK}\) (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị ⇒ AB // MK

⇒ \(MK\perp AC\) (vì \(AB\perp AC,AB\text{ // }MK\))

\(\Rightarrow MK\equiv\Delta\)

⇒ M nằm trên đường trung trực \(\Delta\) của AC (đpcm)