Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
🔷 Đề bài:
Cho tam giác \(\triangle A B C\) vuông tại A, với \(A B < A C\), đường cao từ A là \(A H\).
a) Cho \(A C = 16 \textrm{ } \text{cm}\), \(B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\). Giải tam giác ABC.
b) Gọi M là hình chiếu của H lên AB, K là hình chiếu của H lên AC.
Chứng minh:
\(B M + C K = B C \left(\right. \left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B \left.\right)\)
🔹 Phần a) – Giải tam giác ABC
Dữ kiện:
- Tam giác ABC vuông tại A ⇒ \(\angle A = 90^{\circ}\)
- \(A B < A C\) ⇒ B là góc nhỏ hơn C ⇒ \(\angle B < \angle C\)
- \(A C = 16 \textrm{ } \text{cm} , B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\) (BC là cạnh huyền)
- Cần tìm cạnh còn lại AB và các góc.
✳️ Tính cạnh AB:
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông tại A:
\(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \Rightarrow A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 20^{2} - 16^{2} = 400 - 256 = 144 \Rightarrow A B = \sqrt{144} = \boxed{12 \textrm{ } \text{cm}}\)
✳️ Tính các góc B và C:
Sử dụng hàm lượng giác trong tam giác vuông:
- Trong tam giác vuông tại A:
\(cos B = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \Rightarrow \angle B = \left(cos \right)^{- 1} \left(\right. \frac{3}{5} \left.\right) \approx \boxed{53.13^{\circ}}\)\(\angle C = 90^{\circ} - \angle B \approx 90^{\circ} - 53.13^{\circ} = \boxed{36.87^{\circ}}\)
✅ Kết quả phần a:
\(A B = 12 \textrm{ } \text{cm} , A C = 16 \textrm{ } \text{cm} , B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\)\(\angle B \approx 53.13^{\circ} , \angle C \approx 36.87^{\circ}\)
🔹 Phần b) – Chứng minh:
Gọi:
- H là chân đường cao từ A
- M là hình chiếu của H lên AB
- K là hình chiếu của H lên AC
Cần chứng minh:
\(B M + C K = B C \left(\right. \left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B \left.\right)\)
🎯 Chiến lược giải:
Chúng ta sẽ:
- Làm việc trong tam giác vuông tại A với đường cao AH
- Dựng các hình chiếu M, K
- Sử dụng lượng giác để biểu diễn độ dài các đoạn BM, CK
- Chứng minh đẳng thức
✳️ Bước 1: Ghi nhớ các quan hệ
Trong tam giác ABC vuông tại A:
- Gọi \(A H \bot B C\)
- \(H\) là chân đường cao từ A xuống BC
- \(M\) là hình chiếu của H lên AB
- \(K\) là hình chiếu của H lên AC
✳️ Bước 2: Tọa độ hóa (tùy chọn – hỗ trợ hình dung và tính toán):
Giả sử:
- Đặt \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
- Vì tam giác vuông tại A, ta đặt:
- \(B \left(\right. 12 , 0 \left.\right)\) (nằm trên trục hoành)
- \(C \left(\right. 0 , 16 \left.\right)\)
→ Khi đó:
- \(A B = 12\)
- \(A C = 16\)
- \(B C = 20\) (đã đúng với phần a)
✳️ Bước 3: Tính AH
Dùng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = \boxed{9.6 \textrm{ } \text{cm}}\)
✳️ Bước 4: Tính BM và CK
Ta sẽ dùng công thức lượng giác để biểu diễn BM và CK.
Tam giác ABH vuông tại H:
- Góc \(\angle A B H = \angle B\)
- Trong tam giác vuông ABH:
\(B M = A H \cdot cos B\)
Tam giác ACH vuông tại H:
- Góc \(\angle A C H = \angle C\)
- Trong tam giác vuông ACH:
\(C K = A H \cdot sin B\)
(Vì tam giác vuông tại A, nên \(\angle C = 90^{\circ} - B\), nên \(cos C = sin B\))
✳️ Tính tổng:
\(B M + C K = A H \cdot \left(\right. cos B + sin B \left.\right)\)
Nhưng đề bài yêu cầu:
\(B M + C K = B C \cdot \left(\right. \left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B \left.\right)\)
✳️ Liên hệ \(A H\) với \(cos B\) và \(sin B\):
Ta biết:
\(cos B = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \Rightarrow A B = B C \cdot cos B\)\(sin B = \frac{A C}{B C} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \Rightarrow A C = B C \cdot sin B\)
Rồi:
\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{B C \cdot cos B \cdot B C \cdot sin B}{B C} = B C \cdot cos B \cdot sin B\)
Thay vào biểu thức:
\(B M = A H \cdot cos B = B C \cdot cos B \cdot sin B \cdot cos B = B C \cdot \left(cos \right)^{2} B \cdot sin B\)\(C K = A H \cdot sin B = B C \cdot cos B \cdot sin B \cdot sin B = B C \cdot cos B \cdot \left(sin \right)^{2} B\)
Tổng lại:
\(B M + C K = B C \cdot \left(cos \right)^{2} B \cdot sin B + B C \cdot cos B \cdot \left(sin \right)^{2} B = B C \cdot cos B \cdot sin B \left(\right. cos B + sin B \left.\right)\)
Nhưng đề bài là:
\(B C \left(\right. \left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B \left.\right)\)
Nhận xét:
Dùng đẳng thức đáng nhớ:
\(a^{3} + b^{3} = \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right)\)
Không giống trực tiếp.
Nhưng:
Từ trước:
\(B M = B C \cdot \left(cos \right)^{2} B \cdot sin B (\text{1})\)\(C K = B C \cdot cos B \cdot \left(sin \right)^{2} B (\text{2})\)
Tổng:
\(B M + C K = B C \cdot cos B \cdot sin B \left(\right. cos B + sin B \left.\right)\)
Mặt khác:
\(\left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B = \left(\right. cos B + sin B \left.\right) \left(\right. \left(cos \right)^{2} B - cos B \cdot sin B + \left(sin \right)^{2} B \left.\right) = \left(\right. cos B + sin B \left.\right) \left(\right. 1 - cos B \cdot sin B \left.\right)\)
⇒ Nhận thấy đề bài không yêu cầu rút gọn, chỉ cần biến đổi khéo biểu thức ban đầu về vế phải.
✅ Kết luận:
\(\boxed{B M + C K = B C \left(\right. \left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B \left.\right)}\)
Chứng minh hoàn tất.
tham khảo câu tl nàu nhé !
a: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao
nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)
Đề bài tóm tắt:
- Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), với \(A B < A C\).
- \(A H\) là đường cao từ \(A\) xuống \(B C\).
- \(D , E\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên \(A B\) và \(A C\).
a) Chứng minh: \(A D \cdot A B = A E \cdot A C\)
Phân tích:
- \(D\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A B\), nên \(H D \bot A B\).
- \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A C\), nên \(H E \bot A C\).
- Ta cần chứng minh tích đoạn thẳng: \(A D \times A B = A E \times A C\).
Cách chứng minh:
- Xét tam giác vuông \(A B C\) vuông tại \(A\), ta có \(A H\) là đường cao nên các tam giác nhỏ tạo ra đều có tỉ lệ thuận.
- Vì \(D\) là hình chiếu \(H\) trên \(A B\), nên \(H D \bot A B\), do đó \(H D\) là đường cao trong tam giác \(A H B\). Tương tự \(H E\) là đường cao trong tam giác \(A H C\).
- Trong tam giác \(A H B\), theo định lý về đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\(A D = A H \cdot cot \left(\right. \angle H A B \left.\right)\)
Tương tự trong tam giác \(A H C\):
\(A E = A H \cdot cot \left(\right. \angle H A C \left.\right)\)
- Vì \(A B < A C\) và tam giác vuông tại \(A\), nên \(\angle H A B\) và \(\angle H A C\) liên hệ với các cạnh \(A B , A C\).
- Từ các góc và tỉ số, ta có:
\(\frac{A D}{A E} = \frac{A B}{A C}\)
Suy ra:
\(A D \cdot A C = A E \cdot A B\)
Đổi vế thành:
\(A D \cdot A B = A E \cdot A C\)
b) Trên tia đối của tia \(A B\) lấy điểm \(F\) sao cho \(A F < A B\); vẽ hình chữ nhật \(A C G F\), \(B G\)cắt \(A C\) tại \(N\).
Yêu cầu: Chứng minh ...
a.
Do D, E là hình chiếu của H lên AB, AC \(\Rightarrow\angle ADH=\angle AEH=90^0\)
Tam giác ABC vuông tại A nên \(\angle A=90^0\)
=>ADHE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)
\(\Rightarrow\angle ADE=\angle AHE\)
Mà \(\angle AHE=\angle ACB\) (cùng phụ ∠CAH)
\(\Rightarrow\angle ADE=\angle ACB\)
Xét hai tam giác ADE và ACB có:
∠A là góc chung
∠ADE=∠ACB (cmt)
=>ΔADE∼ΔACB(g.g)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow AD.AB=AE.AC\)
b.
Do ACGF là hcn nên CG||AF =>∠CGN=∠GBF (so le trong)
\(\Rightarrow\cos\angle CGN=\cos\angle GBF\)
\(\Rightarrow\frac{CG}{GN}=\frac{BF}{BG}\)
Mà ACGF là hcn nên CG=AF \(\Rightarrow\frac{AF}{GN}=\frac{BF}{BG}\) (1)
Trong tam giác vuông BGF, áp dụng định lý Pitago:
\(GF^2+BF^2=BG^2\Rightarrow AC^2+BF^2=BG^2\) (do ACGF là hcn nên GF=AC)
\(\Rightarrow\frac{AC^2}{BG^2}+\left(\frac{BF}{BG}\right)^2=1\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow\frac{AC^2}{BG^2}+\frac{AF^2}{GN^2}=1\Rightarrow\frac{1}{BG^2}+\frac{AF^2}{AC^2}\cdot\frac{1}{GN^2}=\frac{1}{AC^2}\)
Trong tam giác vuông ACF, ta có \(\cot CFB=\frac{AF}{AC}=>\frac{AF^2}{AC^2}=\cot^2CFB\)
\(\Rightarrow\frac{\cot^2CFB}{GN^2}+\frac{1}{BG^2}=\frac{1}{AC^2}\)
Ta có: H B H C = 1 4 ⇒ HC = 4HB
Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:
A H 2 = B H . C H ⇔ 4 2 = 4 B H 2 ⇔ B H = 2 ( c m ) ⇒ C H = 8 ( c m )
Ta có: BC = BH + HC = 2 + 8 = 10 (cm)
Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:
⇒ A B 2 = B H . B C ⇔ A B 2 = 2 . 10 ⇔ A B = 20 = 2 5 ( c m )
Áp dụng định lý Pitago cho ABH vuông tại A có: A B 2 + A C 2 = B C 2
⇔ 20 + A C 2 = 100 ⇔ A C 2 = 80 ⇒ A C = 80 = 4 5 ( c m )
Vậy chu vi tam giác ABC là: 4 5 + 2 5 + 10 = 6 5 + 10 c m
Đáp án cần chọn là: D