Question

[Nguyễn Trần Đức Huy]

Cho tam giác ABC vuông tại A, hai trung tuyến BD và CE. CMR BD² + CE² = \(\frac{5BC^2}{4}\)

Answer 1

[Mo Nguyễn Văn]

Áp dụng định lý pytago vào tam giác vuông ABD ta có : BD2=AB2+AD2=AB2+(12AC)2=AB2+14AC2BD2=AB2+AD2=AB2+(12AC)2=AB2+14AC2(1)

Áp dụng định lý pytago vào tam giác vuông AEC ta có : EC2=AE2+AC2=(12AB)2+AC2=14AB2+AC2EC2=AE2+AC2=(12AB)2+AC2=14AB2+AC2(2)

Từ (1);(2) ⇒BD2+EC2=AB2+14AC2+14AB2+AC2=54AB2+54AC2⇒BD2+EC2=AB2+14AC2+14AB2+AC2=54AB2+54AC2(3)

Áp dụng định lý pytago vào tam giác vuông ABC ta có : BC2=AB2+AC2⇒54BC2=54AB2+54AC2BC2=AB2+AC2⇒54BC2=54AB2+54AC2(4)

Từ (3);(4) ⇒BD2+CE2=54BC2⇒BD2+CE2=54BC2 (đpcm)

Answer 2

[Vũ Minh Tuấn]

Áp dụng định lí Py - ta - go vào \(\Delta\) vuông \(ABD\) ta được:

\(BD^2=AB^2+AD^2=AB^2+\left(\frac{1}{2}AC\right)^2=AB^2+\frac{1}{4}AC^2\) (1)

Áp dụng định lí Py - ta - go vào \(\Delta\) vuông \(AEC\) ta được:

\(EC^2=AE^2+AC^2=\left(\frac{1}{2}AB\right)^2+AC^2=\frac{1}{4}AB^2+AC^2\) (2)

Từ (1) và (2) => \(BD^2+EC^2=AB^2+\frac{1}{4}AC^2+\frac{1}{4}AB^2+AC^2=\frac{5}{4}AB^2+\frac{5}{4}AC^2\) (3)

Áp dụng định lí Py - ta - go vào \(\Delta\) vuông \(ABC\) ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow\frac{5}{4}BC^2=\frac{5}{4}AB^2+\frac{5}{4}AC^2\) (4)

Từ (3) và (4) => \(BD^2+CE^2=\frac{5}{4}BC^2\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!