Question

[Tâm Phạm]

Cho tam giác ABC vuông tại A gọi D,E,F là trung điểm của AB,AC,BC

a) tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao

b) Cho BC=10cm AB=6cm tính diện tích tứ giác DAEF

c) tam giác ABC thêm điều kiện gì để tứ giác DAEF là hình vuông

Answer 1

[Kaori Miyazono]

A B C D E F

a) Xét \(\Delta ABC\) có E,F lần lượt là trung điểm của AC , BC nên EF là đường trung bình của tam giác  ABC nên EF//AB

Suy ra \(\widehat{FAE}=90^o\)

Xét tam giác ABC có D,F lần lượt là trung điểm của AB , BC nên DF là đường trung bình của tam giác ABC nên DF//AC

Suy ra \(\widehat{DAE}=90^o\)

Xét tứ giác  AEFD có \(\widehat{EAF}=\widehat{AEF}=\widehat{DEF}=90^o\)nên tứ giác AEFD là hình chữ nhật

Vậy tứ giác AEFD là hình chữ nhật 

b, Vì EF là đường trung bình của tam giác ABC nên \(EF=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A nên \(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2\Rightarrow AC^2=100-36=64\)

Khi đó \(AC=\sqrt{64}=8\left(cm\right)\)

Vì E là trung điểm của AC nên \(AE=\frac{8}{2}=4\left(cm\right)\)

Khi đó \(S_{ADFE}=EF.AE=3.4=12\left(cm^2\right)\)

Vậy \(S_{ADFE}=12cm^2\)

c,  Để tứ giác ADFE là hình vuông \(\Leftrightarrow DF=EF\Leftrightarrow\frac{AB}{2}=\frac{AC}{2}\Leftrightarrow AB=AC\Rightarrow\Delta ABC\)vuông cân

Vậy tứ giác ADFE là hình vuông khi và chỉ khi  tam giác ABC vuông cân.