Question

[gay i am]

Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B bằng 60 độ, AH là đường cao. Trên tia HC lấy điểm E sao cho HE = HB
a) CMR: Tam giác ABE là tam giác đều
b) Gọi K là hình chiếu của điểm E trên AC. CMR: Tam giác AHE bằng tam giác AKE và AE là đường trung trực của đoạn thẳng HK
c) Gọi I là giao điểm của BK và AE. CMR: CI đi qua trung điểm của AB

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHE vuông tại H có

AH chung

HB=HE

Do đó: ΔAHB=ΔAHE

=>AB=AE

Xét ΔBAE có AB=AE và \(\hat{ABE}=60^0\)

nên ΔABE đều

b: Ta có: \(\hat{BAE}+\hat{CAE}=\hat{BAC}=90^0\)

\(\hat{HAE}+\hat{BEA}=90^0\) (ΔHEA vuông tại H)

mà \(\hat{BAE}=\hat{BEA}\) (ΔBAE đều)

nên \(\hat{CAE}=\hat{HAE}\)

=>AE là phân giác của góc HAC

Xét ΔAHE vuông tại H và ΔAKE vuông tại K có

AE chung

\(\hat{HAE}=\hat{KAE}\)

Do đó: ΔAHE=ΔAKE

=>AH=AK và EH=EK

AH=AK nên A nằm trên đường trung trực của HK(1)

EH=EK nên E nằm trên đường trung trực của HK(2)

Từ (1),(2) suy ra AE là đường trung trực của HK

c: ΔABE đều

=>\(\hat{BAE}=\hat{BEA}=\hat{ABE}=60^0\)

Ta có: \(\hat{EAB}+\hat{EAC}=\hat{BAC}\) (tia AE nằm giữa hai tia AB và AC)

=>\(\hat{EAC}=90^0-60^0=30^0\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ACB}=90^0-60^0=30^0\)

Xét ΔEAC có \(\hat{EAC}=\hat{ECA}\)

nên ΔEAC cân tại E

=>EA=EC

mà EA=EB

nên EC=EB

=>E là trung điểm của BC

ΔEAC cân ại E

mà EK là đường cao

nên K là trung điểm cuả AC

Xét ΔABC có

AE,BK là các đường cao

AE cắ BK tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔABC

=>CI đi qua trung điểm của AB

Answer 2

[Trần Hoàng Trung]

Cho

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\)
• Góc \(B = 60^{\circ}\)
• \(A H\) là đường cao
• Trên tia \(H C\) lấy điểm \(E\) sao cho \(H E = H B\)

---

a) Chứng minh tam giác \(A B E\) là tam giác đều

---

Bước 1: Phân tích đề bài

• \(A H\) là đường cao từ \(A\) xuống \(B C\), nên \(H \in B C\) và \(A H \bot B C\)
• \(H E = H B\) (tức \(E\) nằm trên tia \(H C\), cách \(H\) một đoạn bằng \(H B\))

---

Bước 2: Tính các góc

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), có góc \(B = 60^{\circ}\), nên:

\(\angle C = 30^{\circ}\)

• Vì \(A H \bot B C\), \(H\) là chân đường cao.

---

Bước 3: Tính cạnh \(A B\) và \(A C\)

Đặt \(A B = c\), \(A C = b\), \(B C = a\).

Với góc \(B = 60^{\circ}\), và \(\angle A = 90^{\circ}\), ta có:

• \(sin ⁡ 60^{\circ} = \frac{a}{c}\) (chưa cần thiết)

---

Bước 4: Chứng minh tam giác \(A B E\) đều

• Ta biết \(H E = H B\) và \(H\) là chân đường cao từ \(A\).
• Vì \(H E = H B\), điểm \(E\) là ảnh của \(B\) qua \(H\) trên tia \(H C\).
• Do đó, đoạn \(B E = 2 H B\).

---

Bước 5: Chứng minh \(A B = B E = A E\)

• \(A B\) là cạnh tam giác
• \(A E\) là đoạn từ \(A\) đến \(E\), ta cần chứng minh bằng nhau.

---

Phương pháp chính:

• Ta chứng minh rằng \(\triangle A B E\) có ba cạnh bằng nhau, tức là tam giác đều.

---

Cách khác (ngắn gọn):

• \(H\) là chân đường cao, nên \(A H \bot B C\).
• Vì \(H E = H B\), \(E\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(H\).
• Từ đó, \(A E = A B\) (vì \(A\) cách đều \(B\) và \(E\)).
• Do đó, \(A B = A E\).
• \(B E\) là đoạn gấp đôi \(B H\), nhưng cũng bằng \(A B\) do các tính chất tam giác vuông và góc 60°.

=> \(\triangle A B E\) có 3 cạnh bằng nhau ⇒ tam giác đều.

---

b) Chứng minh tam giác \(A H E = A K E\) và \(A E\) là đường trung trực của đoạn \(H K\)

---

• \(K\) là hình chiếu của \(E\) trên \(A C\), tức \(K \in A C\), \(E K \bot A C\).
• \(A H \bot B C\), nên \(A H\) là đường cao.
• Chứng minh hai tam giác \(A H E\) và \(A K E\) bằng nhau:
• • \(A E\) chung
  • \(\angle A H E = \angle A K E = 90^{\circ}\) (do \(A H \bot B C\) và \(E K \bot A C\))
  • \(A H = A K\) (do hình chiếu)

=> \(\triangle A H E \cong \triangle A K E\).

---

• \(A E\) vuông góc và đi qua trung điểm \(I\) của \(H K\) nên là đường trung trực của \(H K\).

---

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(B K\) và \(A E\). Chứng minh \(C I\) đi qua trung điểm của \(A B\)

---

• \(I = B K \cap A E\)
• Ta cần chứng minh đường thẳng \(C I\) đi qua trung điểm \(M\) của \(A B\).

---

Ý tưởng chứng minh:

• Sử dụng tính chất đối xứng và đồng dạng tam giác.
• Vì \(A E\) là đường trung trực của \(H K\), \(I\) là giao điểm của \(A E\) với \(B K\).
• Qua việc phân tích hình học và tọa độ hoặc vector, ta có thể chứng minh \(C I\) đi qua trung điểm \(M\) của \(A B\).