Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\left(BC+AH\right)^2>\left(AB+AC\right)^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2+2\cdot BC\cdot AH+AH^2>AB^2+AC^2+2\cdot AB\cdot AC\)
\(\Leftrightarrow BC^2+2\cdot AB\cdot AC+AH^2-BC^2-2\cdot AB\cdot AC>0\)
\(\Leftrightarrow AH^2>0\)(luôn đúng)
Tam giác ABC vuông tại A nên \(BC^2=AB^2+AC^2\)\(\Rightarrow\)\(BC^2-AB^2-AC^2=0\)
Mặt khác \(2AH.BC=2AB.AC\) (vì cùng bằng diện tích tam giác ABC).
BĐT cần CM tương đương với (AH + BC)2 > (AB + AC)2
hay \(AH^2+BC^2+2AH.BC>AB^2+AC^2+2AB.AC\)
\(\Leftrightarrow\)\(AH^2+\left(BC^2-AB^2-AC^2\right)+\left(2AH.BC-2AB.AC\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\)\(AH^2>0\) (luôn đúng).
A B C H D E
Ta có:
AB=AD
=> tam giác BDA cân tại B
=> \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}\)(1)
Ta lại có: \(\widehat{BDA}+\widehat{HAD}=90^o,\widehat{BAD}+\widehat{DAE}=90^o\)(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: \(\widehat{HAD}=\widehat{DAE}\)
Xét tam giác HAD và tam giác EAD có:
\(\widehat{HAD}=\widehat{DAE}\)( chứng minh trên)
AH=AE (gt)
AD chung
Suy ra tam giác HAD và tam giác EAD
=> \(\widehat{AHD}=\widehat{ADE}\)
như vậy DE vuông AC
b) Ta có: BD+AH =BA+AE < BA+AC vì (AH=AE, BD=AB, E<AC)
Em xem lại đề bài nhé
Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau: BC+AH>AB+AC=> BC+AH-AB>AC=> BC-AB>AC-AH (chuyển vế đổi dấu). (1)
=> Ta phải tạo ra một đoạn thẳng bằng AB trên cạnh BC và 1 đoạn bằng AH trên AC để chứng minh bất đẳng thức vùa biến đổi.
Hình phụ: Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho AB=BD
Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AH=AE
Thay AB=AD và AH=AE vào (1), ta có: BC-BD>AC-AE=>DC>EC
Vậy ta sẽ chứng minh bất đẳng thức DC>EC thay vì chứng minh BC+AH>AB+AC
A B C H D E 2 1
Xét tam giác AHD có ^AHD=90o (AH là đường cao)=> ^A1+^HDA=90o (2 góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau) (*)
Ta có: ^A2+^BAD=^BAC. Mà đề cho tam giác ABC vuông tại A=> ^BAC=90o=>^A2+^BAD=90o (**)
Từ (*) và (**)=> ^A1+^HDA=^A2+^BAD=90o (***)
Mà AB=BD theo cách vẽ=> Tam giác ABD cân tại B=> ^BAD=^BDA (2 góc ở đáy) hay ^BAD=^HDA (do H thuộc BD) (****)
Từ (***) và (****) => ^A1=^A2 (Trừ 2 vế cho ^HDA và ^BAD do 2 góc đó bằng nhau)
Xét tam giác AHD và tam giác AED có:
Cạnh AD chung
^A1=^A2 (cmt) => Tam giác AHD = Tam giác AED (c.g.c)
AH=AE theo cách vẽ
=> ^AHD =^AED. Mà ^AHD=90o=> ^AED=90o => ^DEC=90o (kề bù với ^AED)
=> DC là cạnh lớn nhất trong tam giác DEC=> \(DC>EC\)
Dựa vào hướng giải của bài toán, ta lại biến đổi DC>EC thành bất đẳng thức ban đầu:
DC>EC=> BC-BD > AC-AE (2)
Thay BD=AB, AE=AH vào (2), ta có: BC-AB>AC-AH. Chuyển vế đổi dấu lại ta được: BC+AH>AB+AC (đpcm)
Cách khác nhanh
Xét BC+AH>AB+AC
=>\(\left(BC+AH\right)^2>\left(AB+AC\right)^2\)
=>\(BC^2+2BC.AH+AH^{ }^2>AB^{ }^2+2AB.AC+AC^2\)
Mà \(AB^2+AC^2=BC^2\)(Định lí Pytago) ,\(2S_{ABC}=AH.BC=AB.AC\)
=>\(AH^2>0\)(Luôn đúng)
=> Điều phải chứng minh