Question

[Trần Thành Trung]

cho tam giác ABC vuông tại A. đường cao AH. HE,HF lần lượt là đường cao của H lên AB,AC. 1. AH^3=BC. HE. HF=BC. BE. CF

2.BC^2= 3AH^2+ BE^2+ CF^2

3.(AB/AC)^2=HB/HC

4.(AB/AC)^3= BE/CF

 

 

 

Answer 1

[Edogawa Conan]

A B C H E F

1. Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao

=> \(AH^2=BH.HC\)(hệ thức lượng) => \(AH^4=BH^2.HC^2\)

=> \(AB.AC=AH.BC\) (hệ thức lượng)

Xét tam giác AHB vuông tại H có HE là đường cao => \(BH^2=BE.AB\)

Xét tam giác AHC vuông tại H có HF là đường cao => \(HC^2=FC.AC\)

=> \(AH^4=BH^2.HC^2=BE.AB.FC.AC=BE.FC.BC.AH\)

=> \(AH^3=BC.FC.BE\)

Lại có: HF // AB (vì cùng \(\perp\)AC) =>> \(\widehat{FHC}=\widehat{ABC}\) (đồng vị)

Xét tam giác BEH và tam giác HFC

có: \(\widehat{HEB}=\widehat{HFC}=90^0\)(gt)

   \(\widehat{EBH}=\widehat{FHC}\) (Cmt)

=> \(\Delta\)BEH ∽ \(\Delta\)HFC (g.g)

=> \(\frac{BE}{HF}=\frac{HE}{FC}\) => \(BE.FC=HE.HF\)

Do đó: \(AH^3=BC.BE.FC=BC.HE.HF\)

2. Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: \(BC^2=AB^2+AC^2\)(Định lí Pi - ta - go)

Xét tam giác AHB vuông tại H, có: \(AB^2=BH^2+AH^2\) (Pi - ta - go)

Xét tam giác AHC vuông tại H, có: \(AC^2=AH^2+HC^2\) (Pi - ta - go)

Xét tam giác BHE vuông tại E có: \(BH^2=EB^2+EH^2\)(Pi - ta - go)

Xét tam giác HFC vuông tại F có: \(HC^2=HF^2+FC^2\) (Pi - ta - go)

=> \(BC^2=AH^2+BH^2+BH^2+AH^2=2AH^2+EB^2+EH^2+HF^2+FC^2\)

Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}=\widehat{EAF}=\widehat{AFH\:}=90^0\)=> tứ giác AEHF là hình chữ nhật

=> \(\widehat{EHF}=90^0\) và AH = EF

Xét tam giác EHF vuông tại H có \(EF^2=EH^2+HF^2\) (Pi - ta - go)

hay \(AH^2=EH^2+HF^2\)

Do đó: \(BC^2=2AH^2+AH^2+EB^2+FC^2=3AH^2+EB^2+FC^2\)

3. Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao => \(AB^2=BH.BC\)(hệ thức lượng)

\(AC^2=HC.BC\) (hệ thức lượng)

=> \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH.BC}{HC.BC}=\frac{BH}{HC}\) => \(\left(\frac{AB}{AC}\right)^2=\frac{BH}{HC}\)

4. Từ \(\left(\frac{AB}{AC}\right)^2=\frac{BH}{HC}\) => \(\left(\frac{AB}{AC}\right)^4=\frac{BH^2}{HC^2}\)

Xét tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao => \(BH^2=BE.AB\)

Xét tam giác AHC vuông tại H có HF là đường cao => \(HC^2=FC.AC\)

=> \(\left(\frac{AB}{AC}\right)^4=\frac{AB.BE}{FC.AC}\) => \(\left(\frac{AB}{AC}\right)^3=\frac{BE}{CF}\)