Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cậu tự vẽ hình nhá
a) Do D đối xứng với H qua đoạn AB nên tam giác ADH cân tại A
Tam giác ADH có AB là đường cao đồng thời là phân giác
=> góc DAB = góc HAB
Tương tự với tam giác AHE => góc HAC = góc EAC
Ta có :
góc DAE = (góc DAH) + (góc HAE) = 2.(góc BAH) + 2.(góc HAC) = 2.(góc BAH + góc HAC) = 2.90 = 180
=> D,A,E thẳng hàng
Nhận thấy
Tam giác AHC đối xứng với tam giác AEC qua đoạn thẳng AC => góc AHC = góc AEC = 900 (1)
Tương tự , ta cũng có : góc BHA = góc BDA = 900 (2)
Từ (1) và (2) => BD // EC (do 2 góc trong cùng phía bù nhau)
b) Ta có : tam giác BHA đồng dạng với tam giác AHC
Suy ra tỷ lệ \(\frac{BH}{AH}=\frac{AH}{HC}\Leftrightarrow AH^2=BH.HC\)
Mà BH = BD , HC = CE
=> \(AH^2=BD.CE\)
<=> \(4AH^2=4BD.CE\)
<=> \(\left(2AH\right)^2=4BD.CE\) (Do AD = AH = AE)
<=> \(DE^2=4BD.CE\)
a) Xét ∆ vuông ABC có
AM là trung tuyến
=> AM = BM = CM
=> ∆AMC cân tại M
=> MAC = MCA
Xét ∆ABH có :
BHA + BAH + ABH = 180°
=> BAH + ABH = 90°
Xét ∆ABC có :
ABC + BCA + BAC = 180°
=> ABC + ACB = 90°
=> BAH = MCA
Mà MAC = MCA (cmt)
=> BAH = MAC
b) Gọi I là giao điểm DE và AH
Xét tứ giác DHEA có :
BAC = 90° (gt)
MDA = 90° ( MD\(\perp\)AB )
HEA = 90° ( HE\(\perp\)AC)
=> DHEA là hình chữ nhật
=> I là trung điểm DE và HA
=> DI = IA
=> ∆IDA cân tại I
=> IDA = IAD (1)
Vì MAC = MCA (2) (cmt)
Ta có :
DAI + MAC = 90°
MCA + MAC = 90°
=> DAI = MCA ( cùng phụ với MAC )(3)
Từ (1) (2)(3)
=> DAI = MAC = MCA
Vì I là trung điểm DE
=> ∆IAE cân tại I
=> IAE = IEA
Gọi giao điểm DE,AM là O
Xét ∆ADE có :
DAE + ADE + DEA = 180°
=> ADE + DEA = 90° .
Mà IAE = IEA (cmt)
MAC = ADI (cmt)
=> MAE + IEA = 90°
Xét ∆IAE có :
IAE + IEA + AIE = 180°
=> AIE = 90°
Hay AM \(\perp\)DE(dpcm)
Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=EH\\AE=DH\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB.AC}{\dfrac{1}{2}.AD.AE}=\dfrac{AB.AC}{AD.AE}=\dfrac{AB.AC}{DH.EH}=\left(\dfrac{AB}{EH}\right).\left(\dfrac{AC}{DH}\right)\)
Mà \(DH||AC\) (cùng vuông góc AB) \(\Rightarrow\dfrac{AC}{DH}=\dfrac{BC}{BH}\) (Talet)
Tương tự: \(\dfrac{AB}{EH}=\dfrac{BC}{CH}\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\left(\dfrac{BC}{BH}\right)\left(\dfrac{BC}{CH}\right)=\dfrac{BC^2}{BH.CH}\ge\dfrac{BC^2}{\dfrac{1}{4}\left(BH+CH\right)^2}=\dfrac{4BC^2}{BC^2}=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(BH=CH\) hay tam giác ABC vuông cân tại A