Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C M H
Ta có : \(\left(sin\alpha+cos\alpha\right)^2=sin^2\alpha+cos^2\alpha+2sin\alpha.cos\alpha\) (1)
Lại có : \(sin^2\alpha=\frac{AB^2}{BC^2}\) ; \(cos^2\alpha=\frac{AC^2}{BC^2}\) \(\Rightarrow sin^2\alpha+cos^2\alpha=\frac{AB^2+AC^2}{BC^2}=\frac{BC^2}{BC^2}=1\) (2)
Kẻ đường cao AH (H thuộc BC)
Ta sẽ chứng minh \(sin\beta=2sin\alpha.cos\alpha\)
Xét tam giác vuông HMA có : \(sin\beta=\frac{AH}{AM}\)
Lại có \(AH=\frac{AB.AC}{BC}\) ; \(AM=\frac{BC}{2}\) \(\Rightarrow sin\beta=\frac{\frac{AB.AC}{BC}}{\frac{BC}{2}}=\frac{2AB.AC}{BC^2}=2.\frac{AB}{BC}.\frac{AC}{BC}=2sin\alpha.cos\alpha\)(3)
Từ (1) , (2) , (3) ta có điều phải chứng minh.
Lời giải:
a)
\(\cos ^2a+\cos ^2b+\cos ^2a\sin ^2b+\sin ^2a\)
\(=(\cos ^2a+\sin ^2a)+\cos ^2b+\cos ^2a\sin ^2b\)
\(=1+1-\sin ^2b+\cos ^2a\sin ^2b\)
\(=2-\sin ^2b(1-\cos ^2a)=2-\sin ^2b\sin ^2a\)
b)
\(2(\sin a-\cos a)^2-[(\sin a+\cos a)^2+\sin a\cos a]\)
\(=2(\sin ^2a-2\sin a\cos a+\cos ^2a)-[\sin ^2+2\sin a\cos a+\cos ^2a+\sin a\cos a]\)
\(=2(1-2\sin a\cos a)-(1+3\sin a\cos a)\)
\(=1-7\sin a\cos a\)
c)
\((\tan a-\cot a)^2-(\tan a+\cot a)^2\)
\(=\tan ^2a+\cot ^2a-2\tan a\cot a-(\tan ^2a+\cot ^2a+2\tan a\cot a)\)
\(=-4\tan a\cot a=-4\)
A B C M H
Kẻ đường cao AH ; Vì AB < AC => BH < HC=> H thuộc BM
Ta có: \(\sin\alpha=\frac{AB}{BC};\cos\alpha=\frac{AC}{BC};\sin\beta=\frac{AH}{AM}\)
=> \(\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2=\left(\frac{AB}{BC}+\frac{AC}{BC}\right)^2=\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{AC^2}{BC^2}+\frac{2AB.AC}{BC^2}=1+\frac{2AB.AC}{BC^2}\)
Mà theo hệ thức lượng: \(AB^2=BC.BH;AC^2=CB.CH\)
=> \(\frac{2AB.AC}{BC^2}=2.\frac{AB}{BC}.\frac{AC}{BC}=\frac{2BH.CH}{AB.AC}=\frac{2AH^2}{AB.AC}\)
Ta cần chứng minh: \(\frac{2AH^2}{AB.AC}=\frac{AH}{AM}\Leftrightarrow2AH.AM=AB.AC\Leftrightarrow AH.BC=AB.AC\)đúng
Vậy \(1+\frac{2AB.AC}{BC^2}=1+\frac{AH}{AM}\)
=> Có điều cần phải cm
Lời giải:
Bài này chủ yếu sử dụng công thức lượng giác.
Vì sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau (công thức lượng giác)
\(\Rightarrow \sin \beta=\sin AMC\)\((1)\)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $M$ là trung điểm của $BC$ nên
\(BM=MC=AM\Rightarrow \triangle AMC\) cân tại $M$
\(\Rightarrow \widehat {MAC}=\widehat{MCA}\Rightarrow \widehat{MAC}+\widehat{MCA}=2\widehat{MCA}=2\alpha\)\((2)\)
Từ \((1),(2)\)
\(\Rightarrow \sin \beta=\sin AMC=\sin (180-\widehat{MAC}-\widehat{MCA})=\sin (180-2\sin \alpha)=\sin (2\alpha)\)
\(\Leftrightarrow 1+\sin \beta=1+\sin 2\alpha\)
\(\Leftrightarrow 1+\sin \beta=\cos ^2\alpha+\sin ^2\alpha+\sin 2\alpha=\cos ^2\alpha+\sin^2\alpha+2\sin \alpha\cos \alpha\)
\(\Leftrightarrow 1+\sin \beta=(\cos \alpha+\sin \alpha)^2\) (đpcm)