Question

[hồ bảo hân]

cho tam giác abc vuông tại a (ab<ac). vẽ bd là tia phân fiacs của góc b (d thuộc ac). trên cạnh bc lấy e sao cho be=ba. tia ed cắt đường thẳng ab tại f

a.chứng minh ad=ed

b.chứng minh bd vuông góc với fc

c.so sánh df và de

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔBAD và ΔBED có

BA=BE

\(\hat{ABD}=\hat{EBD}\)

BD chung

Do đó: ΔBAD=ΔBED

=>DA=DE

b: ΔBAD=ΔBED

=>\(\hat{BAD}=\hat{BED}\)

=>\(\hat{BED}=90^0\)

=>DE⊥BC tại E

Xét ΔBFC có

FE,CA là các đường cao

FE cắt CA tại D

Do đó: D là trực tâm của ΔBFC

=>BD⊥FC
c: Ta có: DA=DE

mà DA<DF(ΔDAF vuông tại A)

nên DE<DF

Answer 2

[Gia Bao]

Dưới đây là lời giải theo từng câu.

Cho ∆ABC vuông tại A, AB < AC. BD là tia phân giác của ∠ABC (D ∈ AC); trên BC lấy E sao cho BE = BA; tia ED cắt đường thẳng AB tại F.

---

a) Chứng minh \(A D = D E\)

• Trong \(\triangle A B D\) và \(\triangle E B D\) ta có
  Do đó \(\triangle A B D \cong \triangle E B D\) theo SAS, suy ra
  \(A D = D E .\)
• 1. \(A B = B E\) (giả thiết),
  2. \(B D\) chung,
  3. \(\angle A B D = \angle D B E\) (BD là phân giác \(\angle A B C\)).

---

b) Chứng minh \(B D \bot F C\)

1. Vì \(A B C\) vuông tại \(A\) nên
   \(A B \bot A C .\)
   Mà \(D \in A C\) nên
   \(A B \bot A D \Longrightarrow \angle B A D = 90^{\circ} .\)
2. Từ đẳng thức tam giác ở trên (SAS) ta cũng có
   \(\angle B D E = \angle B A D = 90^{\circ} .\)
   Điều này có nghĩa là
   \(B D \bot D E .\)
3. Vì \(F\) nằm trên tia \(E D\), nên \(D F\) nằm trên đường thẳng \(D E\). Do đó
   \(B D \bot D F .\)
4. Cuối cùng, vì \(D\) thuộc \(A C\) và \(A B \bot A C\), đường thẳng \(C F\) (vì \(F \in A B\)) cũng vuông góc với \(C D\), tức với \(A D\). Kết hợp với \(B D \bot D E\) và vị trí tương quan của các đường, suy ra
   \(B D \bot F C .\)

---

c) So sánh \(D F\) và \(D E\)

• Từ câu (a) ta có \(D\) là trung điểm của đoạn \(A E\) khi xét trong \(\triangle A B D\) và \(\triangle E B D\) đối xứng qua BD.
• Trên tia \(E D\), điểm \(F\) ở phía ngoài đoạn \(E D\) (vì tia \(E D\) cắt \(A B\) tại \(F\) rồi mới đến \(D\)), nên
  \(D F > D E .\)

---

Kết luận:

\(\boxed{A D = D E , B D \bot F C , D F > D E .}\)