Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C A' B' C' H I M N
a) Ta có : \(\frac{HA'}{AA'}=\frac{S_{HA'C}}{S_{AA'C}}=\frac{S_{BHA'}}{S_{AA'B}}=\frac{S_{HA'C}+S_{BHA'}}{S_{AA'B}+S_{AA'C}}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)
Tương tự : \(\frac{HB'}{BB'}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}};\frac{HC'}{CC'}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)
b) Ta có : \(\frac{AN}{BN}=\frac{AI}{BI}\)
mà \(\frac{AI}{CI}=\frac{AM}{BM}\Rightarrow AI=\frac{AM}{CM}.CI\)
\(\Rightarrow\frac{AN}{BN}=\frac{AM}{CM}.\frac{CI}{BI}\Rightarrow AN.CM.BI=BN.AM.CI\)
A B C A' H I I x D
vẽ Cx \(\perp\)CC' ; vẽ D đối xứng với A qua Cx ; DA giao điểm Cx tại I
\(\Rightarrow\)CD = AC và tam giác C'CIA là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\)CC' = AI = ID ; \(\widehat{BAD}=90^o\)
Ta có BD \(\le\)BC + CD . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\Delta BAD\)vuông tại A \(\Rightarrow\)AC = BC
\(\Rightarrow\)BD2 \(\le\)( BC + CD )2
\(\Delta BAD\)vuông tại A \(\Rightarrow\)BD2 = AB2 + AD2
\(\Rightarrow\)AB2 + AD2 \(\le\)( BC + AC )2
\(\Rightarrow\)AD2 \(\le\)( BC + AC )2 - AB2
\(\Rightarrow\)4CC'2 \(\le\)( BC + AC )2 - AB2 . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AC = BC
tương tự , 4BB'2 \(\le\) ( AB + BC )2 - AC2 Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC
4AA'2 \(\le\)( AB + AC )2 - BC2 Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = AC
Suy ra : \(4\left(AA'^2+BB'^2+CC'^2\right)\le\left(AB+BC+AC\right)^2\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge4\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC = AC hay tam giác ABC đều
a, dễ c/m SHBC/SABC=HA'/AA'
SHAB/SABC=HC'/BB'
SHAC/SABC=HB'/BB'
Cộng theo vế các đẳg thức trên ,ta có đpcm
b, Áp dụng t/c đg phân giác vào các tam giác ABC,ABI,AIC ta có :
BI/IC=AB/AC , AN/NB=AI/BI, CM/MA=IC/AI
nhân từng vế rồi rút gọn BI/IC.AN/NB.CM/MA=1 => AN.NI.CM=BN.IC.AM
Câu c) Các bạn tự vẽ hình nhé mình chỉ giải thôi:
Kẻ tia Cx vuông góc với CC'. Vẽ D là điểm đối xứng với A qua Cx. AD giao Cx tại I.
C/m C'AIC là hcn=> Góc BAD = 90 độ
=> CC'= AI
Có: D đối xứng với D qua Cx, I là giao điểm của AD và Cx
=> I là trung điểm của AD=> 2AI=AD
=> 2CC'=AD.
=> AB2+ AD2= BD2( Đlí PTG)
Ta có: Với 3 điểm B,C,D thì sẽ luôn có: (BD+CD)2>= BD2
Có: AB2+ AD2=BD2
=> (BD+CD)2>= AB2+ AD2
=> (BD+CD)2>= AB2+ (2CC')2
=> (BD+CD)2>= AB2+ 4CC'
=> (BD+CD)2- AB2>= 4CC'(1)
CMTT=> (AB+AC)2-BC2>= 4AA'(2)
và (AB+BC)2- AC2>= 4BB'(3)
Từ (1),(2) và (3) ta chứng minh đc:
(AB+BC+AC)2>= 4(AA'2+BB'2+CC'2)
=> GTNN bằng 4 <=> BC=AC; AC=AB; AB=BC<=> AB=BC=AC
=> GTNN là 4 khi tam giác ABC đều.
b)Do AI là phân giác
=>\(\frac{IB}{IC}=\frac{AB}{AC}\)
Do IN là phân giác=>\(\frac{AN}{BN}=\frac{AI}{BI}\)
Do IM là phân giác
=>\(\frac{CM}{AM}=\frac{CI}{AI}\)
=>\(\frac{BI}{CI}\cdot\frac{AN}{BN}\cdot\frac{CM}{AM}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AI}{BI}\cdot\frac{CI}{AI}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{CI}{BI}=1\)
=>AN.BI.CM=BN.IC.AM
A=(\frac{m-1}{1}+...+\frac{m-(m-1)}{m-1}+\frac{m-m}{m})+(\frac{1}{m-1}+\frac{2}{m-2}+...+\frac{m-2}{2}+\frac{m-1}{1})
Chứng minh gì lạ vậy bạn.
\(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)