Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
\(S_{ABC}=\frac{AD.BC}{2}; S_{ABMC}=\frac{AM.BC}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{S_{ABMC}}{S_{ABC}}=\frac{AM}{AD}\)
Hoàn toàn TT: \(\frac{S_{ABCN}}{S_{ABC}}=\frac{BN}{BE}; \frac{S_{ACBK}}{S_{ABC}}=\frac{CK}{CF}\)
Do đó:
\(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=\frac{S_{ABMC}+S_{ABCN}+S_{ACBK}}{S_{ABC}}\)
\(=\frac{S_{ABC}+S_{BMC}+S_{ABC}+S_{ANC}+S_{ABC}+S_{AKB}}{S_{ABC}}=3+\frac{S_{BMC}+S_{ANC}+S_{AKB}}{S_{ABC}}(*)\)
Lại có:
\(\widehat{MBD}=\widehat{MBC}=\widehat{MAC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
\(=\widehat{HAE}=90^0-\widehat{AHE}=90^0-\widehat{BHD}=\widehat{HBD}\)
Xét tam giác $HBD$ và $MBD$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{MBD}=\widehat{HBD}\\ \widehat{BDH}=\widehat{BDM}=90^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \triangle HBD\sim \triangle MBD\)
\(\Rightarrow \frac{HD}{BD}=\frac{MD}{BD}\Rightarrow HD=MD\)
\(\Rightarrow S_{BHC}=\frac{HD.BC}{2}=\frac{MD.BC}{2}=S_{BMC}\)
Hoàn toàn TT: \(S_{AHC}=S_{ANC}; S_{AHB}=S_{AKB}\)
\(\Rightarrow S_{BMC}+S_{ANC}+S_{AKB}=S_{BHC}+S_{AHC}+S_{AHB}=S_{ABC}(**)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=3+\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=4\) (đpcm)
A B C O F H E D I K A' C' B' M N
a) Do BHCK là hình bình hành nên BH // KC \(\Rightarrow KC\perp AC\Rightarrow\widehat{ACK}=90^o\)
KB // CF \(\Rightarrow\widehat{ABK}=90^o\)
Hai tam giác vuông ABK và ACK chung cạnh huyền AK nên A, B, C, K cùng thuộc đường tròn đường kính AK. Vậy K thuộc đường tròn (O).
b) Do BHCK là hình bình hành nên I là trung điểm HK.
AK là đường kính nên \(\widehat{AA'K}=90^o\Rightarrow\) DI // A'K
Vậy DI là đường trung bình tam giác HA'K. Suy ra HD = DA'
Tương tự : HF = FC' ; HE = EB'
Ta có : \(\frac{AA'}{AD}+\frac{BB'}{BE}+\frac{CC'}{CF}=\frac{AD+DA'}{AD}+\frac{BE+EE'}{BE}+\frac{CF+FC'}{CF}\)
\(=1+\frac{DA'}{AD}+1+\frac{EB'}{BE}+1+\frac{FC'}{CF}=3+\left(\frac{DA'}{AD}+\frac{EB'}{BE}+\frac{FC'}{CF}\right)\)
\(=3+\left(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}\right)=3+\left(\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\right)\)
\(=3+\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=3+1=4\)
Vậy nên \(\frac{AA'}{AD}+\frac{BB'}{BE}+\frac{CC'}{CF}=4\)
c) Ta thấy \(\widehat{AKC}=\widehat{ABC}=\widehat{AHF}\)
Vậy nên \(\Delta AFH\sim\Delta ACK\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AK}=\frac{AF}{AC}\) (1)
AFH và AEH là các tam giác vuông chung cạnh huyền AH nên AFHE là tứ giác nội tiếp.
Vậy thì \(\widehat{AFM}=\widehat{AHE}=\widehat{ACN}\)
Lại có \(\Delta AFH\sim\Delta ACK\Rightarrow\widehat{FAM}=\widehat{CAN}\)
Nên \(\Delta AFM\sim\Delta ACN\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AF}{AC}=\frac{AM}{AN}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{AH}{AK}=\frac{AM}{AN}\Rightarrow\frac{AH}{AM}=\frac{AK}{AN}\Rightarrow\) MN // HK (Định lý Talet đảo)