Cho tam giác ABC nhọn, điểm M nằm trong tam giác. Chứng minh rằng: AM.BC + BM.AC + CM.AB >4SABC

TT

Trần Thùy

13 tháng 1 2018 - olm

Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM, lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại P,R,Q. Kí hiệu S_ABC là diện tích tam giác ABC.

a. Chứng minh rằng: MA.BC + MB.CA + MC.AB \(\ge\)4S_ABC

b. Xác định vị trí của M để diện tích tam giác PQR lớn nhất.

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

VT

van tien so

26 tháng 8 2020

a,
Kẻ BE,CF vuông góc với AM.
Ta có:
MA.BC = MA.(BP+CP) ≥ MA.(BE+CF) = 2 SABM + 2 SCAM
Tuong tu:
MB.CA ≥ 2SBCM + 2 SABM
MC.AB ≥ 2SCAM + 2 SBCM
Suy ra:
MA.BC + MB.CA + MC.AB ≥ 2 ( 2 SABM + 2SBCM + 2SCAM) = 4SABC
dpcm.
Dấu = xảy ra khi M là trực tâm.

Đúng(0)

NB

Nguyễn Bá Minh

21 tháng 8 2017 - olm

Cho tam giác ABC, xác định M nằm trong tam giác sao cho AM.BC+BM.CA+CM.AB đạt giá trị nhỏ nhất

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

LN

Linh Nhi

21 tháng 8 2017

GỌi E;F thứ tự là hình chiếu của B,C trên AM và S1;S2;S3 là diện tích các tam giác AMB;AMC;BMC Ta có:
AM.BE+AM.CFAM.BE+AM.CF \leq AM.BD+AM.CDAM.BD+AM.CD Hay 2S1+2S22S1+2S2 \leq AM.(BD+CD)=AM.BC
Dấu = xảy ra khi AM vuông góc BC
tương tự có: 2S1+2S32S1+2S3 \leq BM.AC
2S2+2S32S2+2S3 \leq CM.AB
\Rightarrow AM.BC+BM.AC+CM.AB \geq 4SABC4SABC
dấu = xảy ra khi M là trực tâm tam giác ABC

D là giao điểm của AM và BC

chúc bạn học tốt

ĐÚNG 100%

Đúng(0)

NV

Nguyễn Văn Tiến

11 tháng 12 2015 - olm

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC gặp nhau tại H. Gọi I là giao điểm hai đường thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A).

a. Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.

b. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

c. Chứng minh BM.AC + AM.BC = AB.MC

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

B

Bolbbalgan4

8 tháng 1 2019 - olm

Cho điểm M nằm trong tam giác ABC đều cạnh a. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến BC, AC, AB. Gọi S là diện tích tam giác có ba cạnh AM, BM, CM. Chứng minh rằng: S\(\le\frac{1}{3}\).S_ABC

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

NV

Nguyễn Văn Tiến

29 tháng 11 2015 - olm

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC gặp nhau tại H. Gọi I là giao điểm hai đường thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A).a. Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.b. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.c. Chứng minh BM.AC + AM.BC = AB.MCai bit ko giup...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

VH

Vương Hoàng Minh

24 tháng 1 2016 - olm

Cho tam giác ABC ở miền trong tam giác có điểm M sao cho các đường thẳng AM, BM, CM cắt các cạnh AB, BC, CA tại các điểm C₁, A₁, B₁thỏa: \(\frac{AM}{A_1M}+\frac{BM}{B_1M}+\frac{CM}{C_1M}=6\). Chứng minh M là trọng tâm tam giác ABC

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0