Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Minh Nguyễn Cao - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo tại link trên nhé!
H F D E A B C
a) \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90o\) => tứ giác BFEC nội tiếp => \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC;}\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)=> \(\Delta AEF~\Delta ABC\)
SAEF = \(\frac{1}{2}AE.AF.sinA\); SABC = \(\frac{1}{2}AB.AC.sinA\)=>\(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{AE.AF}{AB.AC}\)=cos2A (cosA = \(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\))
b) làm tương tự câu a ta được SBFD=cos2B.SABC; SCED=cos2C.SABC
=> SDEF =SABC-SAEF-SBFD-SCED = (1-cos2A-cos2B-cos2C)SABC
Date cái hình ra đây đã, bài này "dễ" không ấy mà:))
A B C D E F H
Bài làm:
Ta có:
\(S_{AHB}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BD\) , mà \(\sin\widehat{BHD}\cdot BH=\frac{BD}{BH}\cdot BH=BD\)
=> \(S_{AHB}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BH\cdot\sin\widehat{BHD}\left(1\right)\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BE\) , mà \(\sin\widehat{ECB}\cdot BC=\frac{BE}{BC}\cdot BC=BE\)
=> \(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot\sin\widehat{ECB}\left(2\right)\)
Dễ dàng CM được: Δ BDH ~ Δ BEC (g.g) => \(\widehat{BHD}=\widehat{ECB}\Rightarrow\sin\widehat{BHD}=\sin\widehat{ECB}\)
Chia vế (1) cho (2) ta được:
=> \(\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}=\frac{AH\cdot BH}{BC\cdot AC}=\frac{AH}{BC}\cdot\frac{BH}{AC}\)
Tương tự ta CM được: \(\frac{S_{CHA}}{S_{ABC}}=\frac{CH}{AB}\cdot\frac{AH}{BC}\) và \(\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}=\frac{BH}{AC}\cdot\frac{CH}{AB}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được: \(\frac{S_{AHB}+S_{AHC}+S_{BHC}}{S_{ABC}}=\frac{AH}{BC}\cdot\frac{BH}{CA}+\frac{AH}{BC}\cdot\frac{CH}{AB}+\frac{BH}{AC}\cdot\frac{CH}{AB}\)
=> \(\frac{AH}{BC}\cdot\frac{BH}{CA}+\frac{AH}{BC}\cdot\frac{CH}{AB}+\frac{BH}{AC}\cdot\frac{CH}{AB}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Tiếp theo ta CM bất đẳng thức phụ: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\) (nhân 2 vào cả 2 vế)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\left(\forall a,b,c\right)\) luôn đúng
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Từ đó ta áp dụng vào CM bài toán:
\(\left(\frac{AH}{BC}+\frac{BH}{CA}+\frac{CH}{AB}\right)^2\ge3\left(\frac{AH}{BC}\cdot\frac{BH}{CA}+\frac{AH}{BC}\cdot\frac{CH}{AB}+\frac{BH}{CA}\cdot\frac{CH}{AB}\right)=3\cdot1=3\)
\(\Rightarrow\frac{AH}{BC}+\frac{BH}{CA}+\frac{CH}{AB}\ge\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{AH}{BC}=\frac{BH}{CA}=\frac{CH}{AB}\Rightarrow AH=BH=CH\)
=> Tam giác ABC đều
Đường tròn c: Đường tròn qua C với tâm A_1 Đoạn thẳng g: Đoạn thẳng [B, A] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [C, A] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [C, H] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [E, H] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [A, E] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [A, D] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [E, D] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [A_1, A] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [H, A] A_1 = (5.6, 1.56) A_1 = (5.6, 1.56) C = (9.92, 1.6) C = (9.92, 1.6) C = (9.92, 1.6) Điểm B: Giao điểm đường của c, f Điểm B: Giao điểm đường của c, f Điểm B: Giao điểm đường của c, f Điểm A: Điểm trên c Điểm A: Điểm trên c Điểm A: Điểm trên c Điểm D: Giao điểm đường của c, i Điểm D: Giao điểm đường của c, i Điểm D: Giao điểm đường của c, i Điểm I: Giao điểm đường của f, i Điểm I: Giao điểm đường của f, i Điểm I: Giao điểm đường của f, i Điểm E: Giao điểm đường của j, k Điểm E: Giao điểm đường của j, k Điểm E: Giao điểm đường của j, k Điểm H: Giao điểm đường của f, l Điểm H: Giao điểm đường của f, l Điểm H: Giao điểm đường của f, l
Gọi giao điểm của AD và BC là I. Theo tính chất đường kính dây cung, ta có I là trung điểm AD. Từ đó dễ thấy tam giác ABD cân tại B.
Ta sẽ chứng minh AH luôn tiếp xúc với đường tròn (O; OA) tại A hay \(AH\perp OA\)
Xét tứ giác EHBA có \(\widehat{EHB}+\widehat{EAB}=90^o+90^o=180^o\)
Vậy nên EHBA là tứ giác nội tiếp
Suy ra \(\widehat{HEB}=\widehat{HAB}\)
Do \(EH\perp HC,AD\perp HC\Rightarrow\)EH // AD \(\Rightarrow\widehat{HEB}=\widehat{BDA}\) (Hai góc so le trong)
Tứ giác ABDC nội tiếp nên \(\widehat{BDA}=\widehat{BCA}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Mà \(\widehat{BCA}=\widehat{OAC}\)
Vậy nên \(\widehat{HAB}=\widehat{OAC}\)
Ta có \(\widehat{HAO}=\widehat{HAB}+\widehat{BAO}=\widehat{OAC}+\widehat{BAO}=\widehat{BAC}=90^o\)
Vậy HA vuông góc AO tại A hay HA luôn tiếp xúc với đường tròn \(\left(O;OA\right)\)
Mà (O;OA) là cố định nên HA luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Câu hỏi của Minh Nguyễn Cao - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!