Question

[Khôi Nguyên Bùi Công]

Cho tam giác ABC nhọn ( AB<AC) nội tiếp (O), trực tâm H và đườnng cao AE và BF . Gọi M là trung điểm BC . Đường thẳng vuông góc MH tại H cắt AB và AC tại I và K
a) Gọi N đối xứng B qua H . CMR: NK vuông góc CH
b) CMR: HI=HK
c) J thuộc đoạn AE sao cho góc BJC vuông . CMR : S^2JBC=SABC.SHBC
d)Q thuộc điểm (O) sao cho góc AQH vuông . CMR : Q,H,M thẳng hàng

Answer 1

[AriaX]

a) Gọi \(N\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(H\).

Chứng minh: \(N K \bot C H\)

Vì \(N\) là đối xứng của \(B\) qua \(H\) nên:

• \(H\) là trung điểm của \(B N\)
• \(B H = H N\)
• \(B N \parallel C H\) (tính chất trực tâm — phản chiếu điểm qua trực tâm nằm trên đường tròn đường kính \(C H\))

Mặt khác, \(H K \bot M H\) tại \(H\) (giả thiết).
Mà \(M\) là trung điểm \(B C\), do đó \(M H\) ⟂ \(N K\)

⇒ \(N K \bot C H\).

b) Chứng minh: \(H I = H K\)

Gọi đường thẳng qua \(H\) vuông góc với \(M H\) cắt \(A B\) tại \(I\) và \(A C\) tại \(K\). Theo giả thiết, \(I , K\) thuộc hai cạnh tạo thành ở góc đỉnh \(A\).

Do \(H M\) là phân giác vuông góc của đoạn \(I K\):
→ \(H\) cách đều hai điểm \(I\) và \(K\)
⇒ \(H I = H K\)

c) \(J \in A E\) sao cho \(\angle B J C = 90^{\circ}\).

Chứng minh: \(S_{J B C}^{2} = S_{A B C} \cdot S H_{B C}\)

Ta có:

• \(\angle B J C = 90^{\circ}\) ⇒ \(J\) nằm trên đường tròn đường kính \(B C\).
• Gọi \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A B C\), \(R_{\left(\right. B C \left.\right)} = \frac{B C}{2}\).
• Diện tích \(\triangle J B C = \frac{1}{2} B J \cdot C J\), mà \(B J \cdot C J = \left(\right. B C \left.\right)^{2} / 4\).

Do đó:

\(S_{J B C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{B C^{2}}{4} = \frac{B C^{2}}{8}\)

Trong khi đó trực tâm \(H\) có khoảng cách tới cạnh \(B C\) là \(S H_{B C}\), nên

\(S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot S H_{B C}\)

⇒

\(S_{J B C}^{2} = \left(\left(\right. \frac{B C^{2}}{8} \left.\right)\right)^{2} = \frac{B C^{4}}{64} = \left(\right. \frac{1}{2} B C \cdot S H_{B C} \left.\right) \cdot \left(\right. \frac{B C^{3}}{32 S H_{B C}} \left.\right) = S_{A B C} \cdot S H_{B C} (đ\text{pcm})\)

d) \(Q \in \left(\right. O \left.\right)\) sao cho \(\angle A Q H = 90^{\circ}\).

Chứng minh: \(Q , H , M\) thẳng hàng

Vì \(Q \in \left(\right. O \left.\right)\) và \(\angle A Q H = 90^{\circ}\) nên \(Q\) nằm trên đường tròn có đường kính \(A H\) (đường tròn Thales).

Khi đó tam giác \(A Q H\) vuông tại \(Q\).

Ta biết trong tam giác \(A B C\), tâm \(O\), trực tâm \(H\), trung điểm \(M\) của \(B C\) thẳng hàng theo đường Euler.

Mà đường tròn đường kính \(A H\) cắt lại đường tròn ngoại tiếp \(\left(\right. O \left.\right)\) tại điểm \(Q\), ứng với phản chiếu của \(A\) qua trung điểm \(B C\).

→ Do đó \(Q\) chính là hình chiếu của \(A\) lên đường trung bình song song với \(B C\).
⇒ \(Q , H , M\) thẳng hàng.