Question

[Tiến Nguyễn Minh]

Cho tam giác ABC. Một điểm O bất kì nằm trong tam giác. Qua O kẻ đường thẳng Ox vuông góc với BC sao cho OX=BC. Tương tự xác định Y,Z. Chứng minh rằng O là trọng tâm tam giác XYZ.

Giúp mình với!

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C O X Y Z W

Dựng hình bình hành OZWY. Ta có YW = OZ = AB và ^WYO = 180⁰ - ^YOZ = ^BAC

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)YWO: AB = OZ, AC = YO, ^BAC = ^WYO => \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)YWO (c.g.c)

Suy ra ^ACB = ^YOW (2 góc tương ứng). Vì ^ACB + ^XOY = 180⁰ nên ^YOW + ^XOY = 180⁰

Suy ra X,O,W thẳng hàng. Theo tính chất hình bình hành thì WO chia đôi YZ

Do đó XO cũng chia đôi YZ. Chứng minh tương tự YO chia đôi ZX, ZO chia đôi XY

Vậy thì O là trọng tâm của tam giác XYZ (đpcm).

* Bài toán tổng quát: Cho tam giác ABC. Một điểm O bất kì nằm trong tam giác. Trên đường thẳng qua O vuông góc BC,CA,AB lần lượt lấy các điểm X,Y,Z sao cho \(\frac{OX}{BC}=\frac{OY}{CA}=\frac{OZ}{AB}=k\). Khi đó O là trọng tâm của tam giác XYZ.

Phép chứng minh cũng tương tự như bài toán vừa rồi.

Answer 2

[Tiến Nguyễn Minh]

Cảm ơn nhé