Question

[Khiêm Nguyễn Gia]

Cho tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Từ một điểm \(E\) trên cạnh \(BC\) ta kẻ \(Ex\) song song với \(AM\), cắt tia \(CA\) ở \(F\) và tia \(BA\) ở \(G\). Chứng minh rằng \(FE+EG=2\cdot AM\).

Answer 1

[HT.Phong (9A5)]

Ta có: \(EF//AM\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{FEC}=\widehat{AMC}\) (đồng vị) 

Xét hai tam giác FEC và AMC có:

\(\widehat{FCE}\) chung 

\(\widehat{FEC}=\widehat{AMC}\) (cmt) 

\(\Rightarrow\Delta FEC\sim\Delta AMC\) (g.g)  

\(\Rightarrow\dfrac{EF}{AM}=\dfrac{CE}{CM}\Rightarrow\dfrac{CM}{AM}=\dfrac{CE}{EF}\) (1) 

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta BEG\sim\Delta BMA\left(g.g\right)\) 

\(\Rightarrow\dfrac{EG}{AM}=\dfrac{BE}{BM}\Rightarrow\dfrac{CM}{AM}=\dfrac{BE}{EG}\) (vì \(CM=BM\)) (2) 

Từ (1) và (2) ta có: 

\(\dfrac{CE}{EF}=\dfrac{BE}{EG}\Rightarrow EG\cdot CE=EF\cdot BE\)

\(\Rightarrow EG\cdot\left(BC-BE\right)=EF\cdot BE\)

\(\Rightarrow EG\cdot BC-EG\cdot BE=EF\cdot BE\)

\(\Rightarrow EF\cdot BE+EG\cdot BE=EG\cdot BC\)  

\(\Rightarrow EF+EG=\dfrac{EG\cdot BC}{BE}\left(3\right)\) 

Từ (2) ta có: \(\dfrac{EG}{AM}=\dfrac{BE}{BM}\) 

\(\Rightarrow BM\cdot EG=BE\cdot AM\Rightarrow\dfrac{1}{2}BC\cdot EG=BE\cdot AM\) 

\(\Rightarrow EG\cdot BC=2AM\cdot BE\)

\(\Rightarrow2AM=\dfrac{EG\cdot BC}{BE}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow EF+EG=2AM\) (đpcm)