Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{c^2+b^2-a^2}{2\cdot b\cdot c}=\dfrac{1}{2}\)
=>\(c^2+b^2-a^2=b\cdot c\)
=>\(\dfrac{b}{b^2-a^2}=\dfrac{c}{a^2-c^2}\)
Lời giải
Mấu chốt của bài toán, ta sẽ CM \(r=4R\sin\left(\frac{A}{2}\right)\sin\left(\frac{B}{2}\right)\sin\left(\frac{C}{2}\right)\)
Ta có:
Theo định lý hàm sin: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow BC=2R\sin A\)
\(\Rightarrow 2R\sin A=BC=BN+NC=r\cot\left(\frac{B}{2}\right)+r\cot\left(\frac{C}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow 4R\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}=r\left ( \frac{\cos\frac{B}{2}}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{\cos\frac{C}{2}}{\sin \frac{C}{2}} \right )=r\frac{\sin\frac{B+C}{2}}{\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}\)
\(\Leftrightarrow 4R\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}=r\frac{\sin\frac{180^0-A}{2}}{\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}=r\frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}\)
\(\Rightarrow r=4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\)
Do đó BĐT chuyển về CM:
\(\sin^3\frac{A}{2}+\sin^3\frac{B}{2}+\sin^3\frac{C}{2}\geq 3\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\)
Hiển nhiên đúng theo AM-GM
Do đó ta có đpcm
Dấu $=$ xảy ra khi \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}\Leftrightarrow \triangle ABC\) đều
\(BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot\cos A\)
\(=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos60\\ =AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\dfrac{1}{2}\\ =AB^2+AC^2-AB\cdot AC\)