Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vẽ đường cao AH của \(\Delta\)ABC
Ta có: \(S_{MAB}=S_{MAC}=\frac{1}{2}S_{ABC}\)mà AM > AH (AH _|_ HM)
Do đó: \(\frac{4}{a}=\frac{2\cdot AH}{S_{ABC}}\le\frac{2AM}{S_{ABC}}=\frac{AM}{S_{MAB}}\left(1\right)\)
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta\)ABC
Ta có \(S_{ABC}=S_{IBC}+S_{IAC}+S_{IAB}\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{r\cdot BC}{2}+\frac{r\cdot AC}{2}+\frac{r\cdot AB}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{r}=\frac{AB+BC+AC}{2S_{MAB}}\)
Tương tự xét \(\Delta\)MAB và \(\Delta\)MAC ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{2}{r_1}=\frac{AM+AB+\frac{BC}{2}}{S_{MAB}}\\\frac{2}{r_2}=\frac{AM+AC+\frac{BC}{2}}{A_{MAC}}\end{cases}\left(2\right)}\)
Do đó:
\(\frac{4}{a}+\frac{2}{r}\le\frac{MA}{S_{MAB}}+\frac{AB+BC+AC}{2S_{MAB}}=\frac{1}{2}\left(\frac{AM}{S_{MAB}}+\frac{AB+\frac{AC}{2}}{S_{MAB}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{AM}{S_{MAC}}+\frac{AC+\frac{BC}{2}}{S_{MAC}}\right)=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\)
Vậy \(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\ge2\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{a}\right)\)
A B C H
GỌI CÁC CẠNH AB , AC , BC LẦN LƯỢT LÀ a , b , c => \(a^2+b^2=c^2\)
TA CÓ DIỆN TÍCH TAM GIÁC ABC = ab / 2
MẶT KHÁC S DIỆN TÍCH TAM GIÁC ABC = r ( a + b + c ) / 2
=> r = \(\frac{ab}{2}.\frac{2}{a+b+c}\)
=> \(r^2=\frac{a^2b^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
TA CÓ AH = \(\frac{ab}{c}\)
BH = \(\frac{a^2}{c}\)
CH = \(\frac{b^2}{c}\)
CHỨNG MINH TƯƠNG TỰ TRÊN TA ĐƯỢC
\(r_1^2=\frac{AH^2.BH^2}{\left(AB+AH+BH\right)^2}=\left(\frac{\frac{ab}{c}.\frac{a^2}{c}}{\frac{ab+a^2+ac}{c}}\right)^2=\left(\frac{a^2b}{c\left(a+b+c\right)}\right)^2\)
= \(\frac{a^4b^2}{c^2\left(a+b+c\right)^2}\)
\(r_2^2=\frac{a^2b^4}{c^2\left(a+b+c\right)^2}\)
=> \(r_1^2+r_2^2=\frac{a^2b^2\left(a^2+b^2\right)}{c^2\left(a+b+c\right)^2}=\frac{a^2b^2c^2}{c^2\left(a+b+c\right)^2}=\frac{a^2b^2}{\left(a+b+c\right)^2}=r^2\)
=> đpcm
\(\frac{S}{h_a}+\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=p=\frac{S}{r}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\)
Học tốt!!!!!!!!!!!!!!!!