Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Gọi $D$ là giao điểm $AA_1$ và $BC$.
Xét tam giác $AA_1C$ và $CA_1D$ có:
\(\widehat{A_1}\) chung
\(\widehat{A_1AC}=\widehat{A_1AB}=\widehat{A_1CD}\) (tính chất phân giác và góc nội tiếp chắn cùng một cung)
\(\Rightarrow \triangle AA_1C\sim \triangle CA_1D(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AA_1}{CA_1}=\frac{AC}{CD}(1)\)
Hoàn toàn tương tự: \(\triangle AA_1B\sim \triangle BA_1D(g.g)\Rightarrow \frac{AA_1}{BA_1}=\frac{AB}{BD}(2)\)
\((1);(2)\Rightarrow \frac{CA_1+BA_1}{AA_1}=\frac{CD}{AC}+\frac{BD}{AB}(3)\)
Theo tính chất đường phân giác: \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow BD=\frac{AB.BC}{AB+AC}\Rightarrow CD=BC-BD=\frac{AC.BC}{AB+AC}\)
Do đó: \(\frac{CD}{AC}+\frac{BD}{AB}=\frac{2BC}{AB+AC}(4)\)
Từ \((3);(4)\Rightarrow AA_1=\frac{(CA_1+BA_1)(AB+AC)}{2BC}\). Mà theo BĐT tam giác $CA_1+BA_1>BC$ nên \(AA_1>\frac{BC(AB+AC)}{2BC}=\frac{AB+AC}{2}\).
Hoàn toàn tương tự:
\(BB_1> \frac{BC+BA}{2}; CC_1> \frac{CA+CB}{2}\)
Suy ra \(AA_1+BB_1+CC_1> AB+BC+AC\) (Đpcm)
b/ Gọi G là giao điểm của AB và DF
Ta có :
Góc ACQ = góc AHQ ( t/g ACHQ n.t )
Góc ACQ = góc ADF ( 2 góc n.t chắn cung AF )
=> Góc AHQ = góc ADF
Mà 2 góc ở vị trí đồng vị
Nên \(HQ//DF\)
Mặc khác \(HQ\perp AB\)tại Q
=> \(DF\perp AB\)tại G
Xét tứ giác GBNF ta có:\(B\widehat{G}F+B\widehat{N}F=180^0\)
=> Tứ giác GBNF nội tiếp =>\(N\widehat{G}F=N\widehat{B}F\)
Mà \(N\widehat{B}F=C\widehat{A}F\)( tứ giác ACBF n.t (O))
Nên \(N\widehat{G}F=C\widehat{A}F\left(1\right)\)
Xét tứ giác GMAF ta có: \(A\widehat{M}F=A\widehat{G}F\left(=90^0\right)\)
=> Tứ giác GMAF n.t =>\(M\widehat{A}F+M\widehat{G}F=180^0\left(2\right)\)
(1) và (2) => \(N\widehat{G}F+M\widehat{G}F=180^0\)
=> \(\overline{M,G,N}\)
Mà G là giao điểm của AB và DF
Nên MN,AB,DF đồng quy tại G
MN là đường thẳng simson nha bạn
chiu thoi
đậu phộng