Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ A vẽ AD _|_ BC ,AG là trung tuyến cắt BC tại E\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}AD\le AE\Rightarrow\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{AE}\\1.2GE=BC\left(do\Delta BGCvuongcoElatrungdiem\right)\end{cases}}\)
cotB=\(\frac{BD}{AD}\)cotC=\(\frac{CD}{AD}\)\(\Rightarrow\)2.cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\)
3.G là trực tâm nên 3GE=AE\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{3GE}\)
từ 1, 2 và 3 \(\Rightarrow\)cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\ge\frac{2GE}{3GE}=\frac{2}{3}\)
Kẻ đường cao AH \(\left(H\in BC\right)\). Khi đó H nằm giữa B và C
Tia AG đi qua trung điểm I của cạnh BC.
Vì là trọng tâm của tam giác ABC nên AI = 3GI
Xét tam giác GBC vuông tại G có GI là trung tuyến nên BC = 2GI
Lại có:
\(\cot B+\cot C=\frac{BH}{AH}+\frac{CH}{AH}=\frac{BC}{AH}\)
Vì H là hình chiếu A trên BC nên \(AH\le AI\)
\(\Rightarrow\frac{BC}{AH}\ge\frac{BC}{AI}=\frac{2GI}{3GI}=\frac{2}{3}\)
Vậy ta có đpcm.
Dấu "=" khi \(H\equiv I\) hay tam giác ABC cân tại A có \(BM\perp CN\)
Kẻ đg cao AH, trung tuyến AD, trọng tâm G
Tg AHD vuông tại H nên \(AH\le AD\Rightarrow\dfrac{BC}{AH}\ge\dfrac{BC}{AD}\left(4\right)\)
Ta có \(\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}=\dfrac{BH}{AH}+\dfrac{CH}{AH}=\dfrac{BC}{AH}\ge\dfrac{BC}{AD}\left(1\right)\)
Mà BM vuông góc CN nên GD là trung tuyến ứng vs ch BC
\(\Rightarrow BC=2GD\left(2\right)\)
Mà G là trọng tâm nên \(3GD=AD\left(3\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\left(4\right)\Rightarrow\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}\ge\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{2GD}{3GD}=\dfrac{2}{3}\)
Bài Làm:
vẽ AH vuông góc với BC
\(\Rightarrow\cot B=\frac{BH}{AH}\left(\Delta ABH;\widehat{H}=1v\right)\)
\(\Rightarrow\cot C=\frac{HC}{AH}\left(\Delta HCA;\widehat{H}=1v\right)\)
\(\Rightarrow\cot B+\cot C=\frac{BC}{AH}\left(1\right)\)
Gọi G là giao điểm 2 đường trung tuyến BM ; CN
Nếu AG cắt BC tại I thì AI - đường trung tuyến tam giác ABC
Suy ra BI = IC
suy ra GI - đường trung tuyến tam giác GBC vuông tại G
\(\Rightarrow BC=2GI\left(2\right)\)
\(AH\le AI\le3GI\left(3\right)\)
\(\Rightarrow\cot B+\cot C=\frac{BC}{AH}\ge\frac{2AI}{3AI}=\frac{2}{3}\)
Vậy \(\cot B+\cot C\ge\frac{2}{3}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(AH\equiv AI\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\)cân tại A
A B C M N H I G \ \ // //