Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu a:
Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$
Từ $I$ hạ đường cao $ID, IE, IF$ xuống lần lượt cạnh $BC,CA,AB$
Ta có:
\(S_{ABC}=S_{IBC}+S_{IAC}+S_{IAB}=\frac{ID.BC}{2}+\frac{IE.AC}{2}+\frac{IF.AB}{2}\)
\(=\frac{r.BC}{2}+\frac{r.AC}{2}+\frac{r.AB}{2}=\frac{r(AB+BC+AC)}{2}=\frac{r(a+b+c)}{2}\)
Ta có đpcm.
Câu c:
Ta có: \(h_a^2+h_b^2+h_c^2=\left(\frac{2S}{a}\right)^2+\left(\frac{2S}{b}\right)^2+\left(\frac{2S}{c}\right)^2\)
\(=4S^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(\geq 4S^2.\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\) ( BĐT AM-GM dạng \(x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\) )
\(\geq 4S^2.\frac{1}{3}\left(\frac{9}{a+b+c}\right)^2=\frac{108S^2}{(a+b+c)^2}(*)\) (áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz)
Mặt khác:
Theo kết quả phần a: \(r=\frac{2S}{a+b+c}\Rightarrow 27r^2=\frac{108S^2}{(a+b+c)^2}(**)\)
Từ \((*);(**)\rightarrow h_a^2+h_b^2+h_c^2\geq 27r^2\) (đpcm)
