Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Kẻ CE vuông góc với AB, ta có ngay tam giác ACE vuông có một góc nhọn 60. Suy ra \(AE=\frac{1}{2}AC=\frac{b}{2},CE=\frac{\sqrt{3}}{2}b\). Xét tam giác vuông EBC có '\(EB=c+\frac{b}{2},EC=\frac{\sqrt{3}}{2}b\to a^2=BC^2=BE^2+CE^2=\left(c+\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b\right)^2=c^2+bc+b^2\)
D A C B b c a b/2
Ta có: \(\widehat{CAB}=120^o\Rightarrow\widehat{CAD}=60^o\)
\(\Rightarrow\Delta DAC\) là nửa tam giác đều.
\(\Rightarrow AD=\frac{AC}{2}=\frac{b}{2}\)
Xét \(\Delta CDB\) vuông tại D có:
\(CB^2=CD^2+DB^2=\left(AC^2-AD^2\right)+\left(AD+AB\right)^2\)
\(\Leftrightarrow CB^2=AC^2-AD^2+AD^2+2AD.AB+AB^2=AC^2+2AB.\frac{AC}{2}+AB^2\)
\(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2+bc\)
A B C E a b c
Kẻ CE | AB.
Ta có \(\Delta ACE\) vuông tại E có góc A = 60o.
\(\Rightarrow AE=\frac{1}{2}AC=\frac{b}{2}\)
\(CE=AC^2-AE^2=\frac{\sqrt{3}}{2}b\)
Xét \(\Delta EBC\) vuông tại E có :
\(EB=c+\frac{b}{2}\)
\(EC=\frac{\sqrt{3}}{2}b\)
\(\Rightarrow a^2=BC^2=EB^2+EC^2=\left(c+\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b\right)^2=b^2+c^2+bc\)
Vậy ...
![[IMG]](http://i1158.photobucket.com/albums/p610/Khiem_Vuong/Untitled-1.png?t=1372301010)
- Vẽ CD vuông góc tia AB tại D.
Ta thấy: \(\widehat{BAC}=120^o\Rightarrow\widehat{CAD}=60^o\left(p.g\right)\)
Tam giác CAD là nửa tam giác đều
\(\Rightarrow AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB\)
- Tam giác CDB vuông tại D
\(\Rightarrow BC^2=BD^2+CD^2=BD^2+CD^2...\Rightarrow a^2=\left(AB+AD\right)^2+\left(AC-AD\right)^2\)
\(\Rightarrow AB^2+2AB.BD+AD^2+AC^2-AD^2\Rightarrow a^2=b^2+c^2+2c.AD=b^2+c^2+bc\left(AD=\frac{1}{2}b\right)\)
Kẻ đường cao BD ứng với AC. Do góc A tù \(\Rightarrow\) D nằm ngoài đoạn thẳng AC hay \(CD=AD+AC\) và \(\widehat{DAB}=180^0-120^0=60^0\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(AB^2=BD^2+AD^2\) \(\Rightarrow BD^2=AB^2-AD^2\)
Trong tam giác vuông ABD:
\(cos\widehat{BAD}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=cos60^0=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AD=\dfrac{1}{2}AB\)
\(\Rightarrow BD^2=AB^2-\left(\dfrac{1}{2}AB^2\right)=\dfrac{3}{4}AB^2\)
Pitago tam giác BCD:
\(BC^2=BD^2+CD^2=\dfrac{3}{4}AB^2+\left(AD+AC\right)^2\)
\(=\dfrac{3}{4}AB^2+\left(\dfrac{1}{2}AB+AC\right)^2\)
\(=\dfrac{3}{4}AB^2+\dfrac{1}{4}AB^2+AB.AC+AC^2\)
\(=AB^2+AB.AC+AC^2\)
Hay \(a^2=b^2+c^2+bc\)
theo định lý hàm số cos thì :
\(a^2=b^2+c^2-2bc\)
cos A=\(b^2+c^2-2bc\)
cos 120 mà cos 1200=\(-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2+bc\)
ABCHbc
Trong tam giác vuông ACH có AC2 = AH2 + CH2 = AH2 + (BC - BH)2 = AH2 + BC2 - 2.BC.BH + BH2
Trong tam giác vuông ABH có AH2 + BH2 = AB2 và BH = AB.cosB hay BH = c.cosB
Suy ra AC2 = BC2 + AB2 - 2BC.c.cosB hay b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB
dựng tia Bx cắt cạnh AC tại D sao cho góc CBx = 20o
có gócBCD = 80o => góc BDC = 180o-20o-80o = 80o = góc BCD
=> tgiác BCD cân (tại B) ; gọi H là hình chiếu của A trên Bx
có góc ABH = 80o - 20o = 60o => HAB là nửa tgiác đều
=> BH = AB/2 = b/2 ; AH^2 = 3b^2/4
BD = BC = a => DH = BH-BD = b/2 - a
hai tgiác cân BCD và ABC đồng dạng => CD/BC = BC/AB
=> CD = BC^2/AB = a^2/b
=> AD = AC - CD = b - a^2/b
Cho tgiác vuông HAD ta có: AD^2 = AH^2 + DH^2
Thay số từ các tính toán trên:
(b - a^2/b)^2 = 3b^2/4 + (b/2 - a)^2
<=> b^2 + a^4/b^2 - 2a^2 = 3b^2/4 + b^2/4 + a^2 - ab
<=> a^4/b^2 = 3a^2 - ab
<=> a^3/b^2 = 3a - b
<=> a^3 = 3a.b^2 - b^3
<=> a^3 + b^3 = 3a.b^2 đpcm