Question

[Ko cần bít]

Cho tam giác ABC có 3 đường cao AH, BD, CE. Gọi h/c vuông góc của H trên các đường thẳng AB, BD, CE, AC lần lượt là M, N, P, Q. CMR: M, N, P, Q thẳng hàng 

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C H D E M N P Q I

Goi I là trực tâm của tam giác ABC

Ta có \(\Delta\)BDC: H thuộc BC, Q thuộc CD; HQ//BD => \(\frac{CQ}{QD}=\frac{CH}{HB}\)(1)

Mà \(\Delta\)BEC: H thuộc BC; P thuộc EC; HP//BE => \(\frac{CH}{HB}=\frac{CP}{PE}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{CQ}{QD}=\frac{CP}{PE}\)=> PQ//DE (ĐL Thales đảo) (3)

Tương tự ta có: MN//DE (4)

Lại có: \(\frac{AE}{EM}=\frac{AD}{DQ}=\frac{AI}{IH}\)(ĐL Thales) => MQ//DE (5)

Từ (3); (4) và (5) => M;N;P;Q thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit) (đpcm).