Question

[Nguyễn Thị Ngọc Ánh]

Cho tam giác ABC cân có B = 60 độ. Đường thẳng song song với AB cắt các tia đối của các tia CA, CB lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh: Tam giác CMN là tam giác đều.

b) Kẻ CH ⊥ AB tại H. Tia HC cắt MN tại K. Chứng minh: CK ⊥ MN và MK = \(\dfrac{1}{2}\) CM.

Giúp mình với!

Answer 1

[Nguyễn Anh Tuấn]

\(\Delta ABC\) cân có \(\widehat{ABC}=60^0\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) là tam giác đều

Xét \(\Delta MNC\) có :

Vì \(\Delta ABC\) là tam giác đều

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60^0\)

Vì AB // MN

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{NMC}=60^0\) (đồng vị)

Vì AB // MN

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{MNC}=60^0\)(đồng vị)

\(\Rightarrow\Delta MNC\) cân tại C

Mà \(\widehat{ACB}=60^0\)

\(\Rightarrow\Delta CMN\) là tam giác đều

b Xét \(\Delta MKC\) và \(\Delta NKC\) có :

MC = NC (Vì \(\Delta CMN\) là tam giác đều)

Vì \(\widehat{AHC}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{HAC}+\widehat{ACH}=90^0\)

\(\Rightarrow60^0+\widehat{ACH}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ACH}=30^0\)

\(\Rightarrow\dfrac{\widehat{ACB}}{2}=\widehat{ACH}\)

\(\Rightarrow CH\) là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{BCH}\)

KC : cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta MKC=\Delta NKC\) (c . g . c)

\(\Rightarrow\widehat{MKC}=\widehat{CKN}\)

Mà \(\widehat{MKC}+\widehat{NKC}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MKC}=\widehat{NKC}=\dfrac{1}{2}\times180^0=90^0\)

\(\Rightarrow CK\perp MN\)

Vì \(\Delta MKC=\Delta NKC\)

\(\Rightarrow MK=NK\)

\(\Rightarrow MK=\dfrac{1}{2}\times MN\)

Mà MN = CM

\(\Rightarrow MK=\dfrac{1}{2}\times MC\)