Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b2 \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=\sqrt{x}.\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{y}.\)\(\sqrt{y}.\sqrt{1-\frac{1}{y}}+\sqrt{z}.\sqrt{1-\frac{1}{z}}\)rồi dung bunhia là xong
A= \(\frac{1}{a^3}\)+ \(\frac{1}{b^3}\)+ \(\frac{1}{c^3}\)+ \(\frac{ab^2}{c^3}\)+ \(\frac{bc^2}{a^3}\)+ \(\frac{ca^2}{b^3}\)
Svacxo:
3 cái đầu >= \(\frac{9}{a^3+b^3+c^3}\)
3 cái sau >= \(\frac{\left(\sqrt{a}b+\sqrt{c}b+\sqrt{a}c\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
Cô-si: cái tử bỏ bình phương >= 3\(\sqrt{abc}\)
=> cái tử >= 9abc= 9 vì abc=1
Còn lại tự làm
ĐK: \(x+y;y+z;z+x\ge0\).
Bình phương hai vế của đẳng thức đã cho ta được:
\(x+y=z+x+y+z+2\sqrt{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow z+\sqrt{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}=-z\) (1).
Đến đây ta có \(z\le0\).
Do đó \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(z+x\right)\left(y+z\right)=z^2\Leftrightarrow zx+yz+xy=0\).
Đến đây dễ có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\).
\(A=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)
Áp dụng Bđt MIncopxki ta có:
\(A\ge\sqrt{\left(x+y+\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{2+80}=\sqrt{82}\)
Dấu = khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng bđt AM-GM:
\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}=\frac{x}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}\ge\frac{x}{\frac{x+y+z}{2}}=\frac{2x}{x+y+z}\)
Tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{z+x}\ge\frac{2y}{x+y+z}\\\frac{z}{x+y}\ge\frac{2z}{x+y+z}\end{cases}}\). Cộng theo vế: \(VT\ge2\)
Dấu "=" ko xảy ra nên VT>2
Ta có: \(\frac{1}{2}.2x\left(1-x\right)\left(1-x\right)\le\frac{1}{2}\left[\frac{2x+1-x+1-x}{3}\right]^3=\frac{4}{27}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}\left(1-x\right)\le\frac{2\sqrt{3}}{9}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}\left(1-x\right)}\ge\frac{9}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x}}{1-x}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x\). Thiết lập tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được đpcm.
https://olm.vn/hoi-dap/question/667592.html