Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a}{b}\)<\(\frac{c}{d}\)
=> \(\frac{ad}{bd}\)<\(\frac{bc}{bd}\)(tích chéo)
=> ad<bc(điều phải chứng minh)
t.i.c.k cho a nha
a) ta có \(\frac{a}{b}=\frac{ad}{bd}\)cả tử và mẫu với d >0
\(\frac{c}{d}=\frac{cb}{bd}\)cả tử và mẫu với b >0
vì \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)nên \(\frac{ab}{bd}< bc,db\Rightarrow ad< bc\)vì tích bd >0
\(\frac{a}{b}\) < \(\frac{c}{d}\) (a; b; c; d ∈ Z; b >0; d > 0)
\(\frac{c}{d}>\frac{a}{b}\)
⇔\(\frac{c}{d}\) - \(\frac{a}{b}\) > 0
⇔\(\frac{cb-ad}{bd}\) > 0
Vì b; d> 0; \(\frac{cb-ad}{bd}\) > 0
nên \(\frac{cb-ad}{bd}\) > 0 ⇔ cb - ad > 0
⇔ cb > ad (đpcm)
ChatGPT said:
Ta cần chứng minh rằng:
\(\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{khi}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{ch}ỉ\&\text{nbsp};\text{khi} a d < b c\)với các điều kiện: \(a , b , c , d \in \mathbb{Z}\), \(b > 0\), \(d > 0\).
1. Chứng minh chiều thuận:
Giả sử \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\).
- Ta sẽ bắt đầu từ bất đẳng thức \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) và nhân chéo để đưa ra kết luận:
Do \(b > 0\) và \(d > 0\) (theo giả thiết), việc nhân hai vế của bất đẳng thức với \(b\) và \(d\) không thay đổi chiều bất đẳng thức.
Vậy ta có:
\(a d < b c\)Vậy, khi \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\), thì \(a d < b c\).
2. Chứng minh chiều ngược lại:
Giả sử \(a d < b c\).
- Ta cần chứng minh rằng \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\).
- Bất đẳng thức \(a d < b c\) có thể viết lại dưới dạng:
Do \(b > 0\) và \(d > 0\), ta có thể chia cả hai vế của bất đẳng thức \(a d < b c\) cho \(b d\) mà không thay đổi chiều bất đẳng thức.
Vậy ta có:
\(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)Kết luận:
Ta đã chứng minh rằng:
\(\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{khi}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{ch}ỉ\&\text{nbsp};\text{khi} a d < b c\)
1.
Ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad< bc\Leftrightarrow ab+ad< ad+bc\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) (1)
Lại có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow bc>ad\Leftrightarrow bc+cd>ad+cd\Leftrightarrow c\left(b+d\right)>d\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{c}{d}>\frac{a+c}{b+d}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
2.
Ta có: a(b + n) = ab + an (1)
b(a + n) = ab + bn (2)
Trường hợp 1: nếu a < b mà n > 0 thì an < bn (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra a(b + n) < b(a + n) => \(\frac{a}{n}< \frac{a+n}{b+n}\)
Trường hợp 2: nếu a > b mà n > 0 thì an > bn (4)
Từ (1),(2),(4) suy ra a(b + n) > b(a + n) => \(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)
Trường hợp 3: nếu a = b thì \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}=1\)
Gỉa sử : \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}< =>ab+ac< ab+bc\)
\(< =>ac< bc< =>a< b\)(đpcm)
Gỉa sử : \(\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}< =>ab+ac>ab+bc\)
\(< =>ac>bc< =>a>b\)(đpcm)
Để \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\) thì a(b+d) < b(a+c)
<=> ab + ad < ba + cb
<=> ad < cb
<=> \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\)
Để \(\dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\) thì (a+c)d < (b+d)c
<=> ad + cd < bc + dc
<=> ad < bc
<=> \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\)
Chúc bạn học tốt!
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=k\Rightarrow a=bk\\\frac{c}{d}=q\Rightarrow c=dq\end{cases}}\)
a) Thay a và c vào biểu thức ta có :
\(\frac{bk}{b}< \frac{dq}{d}\Rightarrow k< q\)
=> ad ... bc
=> bkd ... bdq
=> k ... q
=> k < q
=> đpcm
b) tương tự thay a và c vào
Bài 2 : Theo ví dụ trên ta có : \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)=> ad < bc
Suy ra :
\(\Leftrightarrow ad+ab< bc+ba\Leftrightarrow a(b+d)< b(a+c)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)
Mặt khác : ad < bc => ad + cd < bc + cd
\(\Leftrightarrow d(a+c)< (b+d)c\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Vậy : ....
b, Theo câu a ta lần lượt có :
\(-\frac{1}{3}< -\frac{1}{4}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{2}{7}< -\frac{1}{4}\)
\(-\frac{1}{3}< -\frac{2}{7}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{3}{10}< -\frac{2}{7}\)
\(-\frac{1}{3}< -\frac{3}{10}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{4}{13}< -\frac{3}{10}\)
Vậy : \(-\frac{1}{3}< -\frac{4}{13}< -\frac{3}{10}< -\frac{2}{7}< -\frac{1}{4}\)