Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2-2\left(m+1\right)x+3\left(m+1\right)-3=0\)
\(x^2-2nx+3n+3=\left(x-n\right)^2-\left(n^2-3n+3\right)=0\)\(\left(x-n\right)^2=\left(n-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}>0\forall n\) vậy luôn tồn tại hai nghiệm
\(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{n-\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\\x_2=\frac{n+\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\end{cases}}\)
a) \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{4x_1-x_2}{x_1}\Leftrightarrow\frac{x_1^2-4x_1x_2+x_2^2}{x_1x_2}=0\)
\(x_1x_2=n^2-\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}=\frac{4n^2-4n^2+12n-9-3}{4}=3n-3\)
với n=1 hay m=0 : Biểu thức cần C/m không tồn tại => xem lại đề
\(\Delta=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m^2+3\right)\)
= 4(m + 1)2 - 4m2 - 12
= 4m2 + 8m + 4 - 4m2 - 12 = 8m - 8
Để pt có 2 nghiệm thì \(\Delta\ge0\) <=> 8m - 8 \(\ge\)0
<=> 8(m - 1) \(\ge\) 0
<=> m -1 \(\ge\)0
<=> m \(\ge\) 1
Theo vi-et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)=2m+2\\x_1.x_2=m^2+3\end{cases}}\)
Theo đề ta có: \(\frac{x1}{x2}+\frac{x2}{x1}=\frac{8}{x1.x2}\)
ĐK: x1, x2 \(\ne\)0 => \(\hept{\begin{cases}x1+x2\ne0\\x1.x2\ne0\end{cases}}hay\hept{\begin{cases}2m+2\ne0\\m^2+3\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\ne-1\\m^2\ne-3\end{cases}}\Leftrightarrow m\ne-1\)
<=> \(\frac{\left(x_1\right)^2+\left(x_2\right)^2}{x1.x2}=\frac{8}{x1.x2}\)
=> \(\left(x_1\right)^2+\left(x_2\right)^2=8\)
<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2-2.x_1.x_2=8\)
Hay (2m + 2)2 - 2(m2 + 3) = 8
<=> 4m2 + 8m + 4 - 2m2 - 6 = 8
<=> 2m2 + 8m - 10 = 0
a + b + c = 2 + 8 + (-10) = 0
=> m = 1 (tmđk) và m = \(\frac{c}{a}=-5\)(ktmđk)
Vậy m = 1 thì ....
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2+4>0,\forall m\inℝ\)
nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1+x_2\).
Theo định lí Viete:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m-3\end{cases}}\)
\(P=\left|\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\left|x_1-x_2\right|}=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}}\)
\(=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{\left(2m+2\right)^2-4\left(2m-3\right)}}=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{4m^2+16}}=\frac{\left|m+1\right|}{\sqrt{m^2+4}}\ge0\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(m=-1\).
Xét phương trình trên có:
\(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m^2-2m+4\right)=m^2-4m+4-m^2+2m-4=-2m\)
Để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)điều kiện là:
\(\Delta'>0\Leftrightarrow-2m>0\Leftrightarrow m< 0\)
Với m<0. Áp dụng định lí Vi ét ta có:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-2\left(m-2\right)\\x_1.x_2=m^2-2m+4\end{cases}}\)
=> \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2=4\left(m-2\right)^2-2\left(m^2-2m+4\right)=2m^2-12m+8\)
Ta có:
\(\frac{2}{x_1^2+x_2^2}-\frac{1}{x_1x_2}=\frac{1}{15m}\)
<=> \(\frac{2}{2m^2-12m+8}-\frac{1}{m^2-2m+4}=\frac{1}{15m}\)(điều kiện: \(2m^2-12m+8\ne0\))
<=> \(\frac{1}{m^2+4-6m}-\frac{1}{m^2+4-2m}=\frac{1}{15m}\)
<=> \(\frac{4m}{\left(m^2+4-6m\right)\left(m^2+4-2m\right)}=\frac{1}{15m}\)
<=> \(60m^2=\left(m^2+4\right)^2-8m\left(m^2+4\right)+12m^2\)
<=> \(\left(m^2+4\right)^2-8m\left(m^2+4\right)-48m^2=0\)
<=> \(\left(\frac{m^2+4}{m}\right)^2-8\frac{m^2+4}{m}-48=0\)
Đặt t=\(\frac{m^2+4}{m}< 0\)
Ta có phương trình ẩn t:
\(t^2-8t-48=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=-4\\t=12\left(loai\right)\end{cases}}\)
Với t=-4 ta có:
\(\frac{m^2+4}{m}=-4\Leftrightarrow m^2+4m+4=0\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2=0\Leftrightarrow m=-2\)( tmđk)
vậy m=-2
Bài giải
Ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1.x_2=m^2+3\\x_1+x_2=2\left(m+1\right)\end{cases}}\)
\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{8}{x_1.x_2}\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2}=\frac{8}{x_1.x_2}\)
<=> ( x1 + x2 ) 2 -2x1x2 = 8
<=>4(m+1)2 -2(m2+ 3 ) = 8 <=> 2m2 + 8m - 10=0
<=> \(\orbr{\begin{cases}m=1\\m=-5\left(L\right)\end{cases}}\)
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?????