Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét \(x^2-\left(2m+1\right)x-3=0\left(1\right)\)
PT (1) có a.c=\(1\cdot\left(-3\right)=-3< 0\)
=> PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu với mọi m
Mà \(x_1< x_2\left(gt\right)\)nên x1<0 và x2>0 => \(\hept{\begin{cases}\left|x_1\right|=-x_1\\\left|x_2\right|=x_2\end{cases}}\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có \(x_1+x_2=2m+1\)
Theo bài ra \(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=5\Rightarrow-x_1-x_2=5\Leftrightarrow x_1+x_2=-5\Leftrightarrow2m+1=-5\Leftrightarrow m=-3\)
Do \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của pt nên ta có những điều sau:
\(x_1+x_2=5\) ; \(x_1x_2=-1\); \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=27\)
\(x_1^2-5x_1-1=0\Rightarrow x_1^2+3x_1-2=8x_1-1\)
Tương tự: \(x_2^2+3x_2-2=8x_2-1\)
\(x_1^2+2x_1=7x_1+1\Rightarrow x_1^3+2x_1^2=7x_1^2+x_1\)
Tương tự: \(x_2^3+2x_2^2=7x_2^2+x_2\)
Thay vào:
\(M=\left(8x_1-1\right)\left(8x_2-1\right)=64\left(x_1x_2\right)-8\left(x_1+x_2\right)+1=...\)
\(N=\left(7x_1^2+x_1-1\right)\left(7x_2^2+x_2-1\right)\)
\(N=49\left(x_1x_2\right)^2+7x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-7\left(x_1^2+x_2^2\right)-\left(x_1+x_2\right)+1\)
Bạn tự thay số
\(\Delta=\left(2n-1\right)^2-4n\left(n-1\right)\)
\(=4n^2-4n+1-4n^2+4n=1\)
Phương trình có 2 nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{2n-1-1}{2}=n-1\\x_2=\frac{2n-1+1}{2}=n\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2-2x_2+3=\left(n-1\right)^2-2n+3=n^2-4n+4=\left(n-2\right)^2\ge0\) (đpcm)
Dùng hệ thức Vi-ét có được không bạn?