Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do \(x_1< x_2\). Do đó: \(x_1=\frac{2n-1-1}{2}=n-1\) và \(x_2=\frac{2n-1+1}{2}=n\)
Ta có \(x_1^2-2x_2+3=\left(n-1\right)^2-2n+3\)
\(=n^2-2n+1-2n+3=n^2-4n+4=\left(n-2\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra <=> n=2
đen ta=(2n-1)^2-4n(n-1)=1>0
=>pt có 2 nghiệm phân biệt
=>x1=(2n-1+1)/2=n;x2=(2n-1-1)/2=n-1
ta có:x1^2-2x2+3=n^2-2n+2+3=(n-1)^2+4>0
\(A=\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^2-2=\left[\frac{x_1^2+x^2_2}{x_1x_2}\right]^2-2=\left[\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}\right]^2-2\)
\(=\left[\frac{\left(2m-2\right)^2}{2m-5}-2\right]^2-2\)\(=\left(\frac{4m^2-8m+4}{2m-5}-2\right)^2-2=\left(2m-1+\frac{9}{2m-5}\right)^2-2\)
A nguyên khi \(\left(2m-1+\frac{9}{2m-5}\right)^2\in Z\)
\(\Leftrightarrow B=2m-1+\frac{9}{2m-5}=\frac{8m^2-12m+14}{2m-5}\)\(=\sqrt{k}\) với k là một số nguyên dương.
\(\Rightarrow8m^2-12m+14=\sqrt{k}\left(2m-5\right)\)\(\Leftrightarrow8m^2-2\left(6+\sqrt{k}\right)m+14+5\sqrt{k}=0\text{ (1)}\)
(1) có nghiệm m khi \(\Delta'=\left(\sqrt{k}+6\right)^2-8\left(14+5\sqrt{k}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow k-28\sqrt{k}-76\ge0\Leftrightarrow\sqrt{k}\le14-4\sqrt{17}<0\text{ (loại) hoặc }\sqrt{k}\ge14+4\sqrt{17}\)
\(\Leftrightarrow k\ge\left(14+4\sqrt{17}\right)^2\approx929,78\Rightarrow k\ge930\)
Vậy \(m=\frac{6+\sqrt{k}+\sqrt{k-28\sqrt{k}-76}}{8}\text{ hoặc }m=\frac{6+\sqrt{k}-\sqrt{k-28\sqrt{k}-76}}{8}\) với k là một số nguyên lớn hợn hoặc bằng 930.
Bài này phải là n nguyên dương nhé
Ta có bài toán tổng quát : Cho pt \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\)có 2 nghiệm x1 ; x2
Đặt \(S_n=x_1^n+x_2^n\)thì pt \(aS_{n+2}+bS_{n+1}+cS_n=0\)cũng có nghiệm với n nguyên dương
Thật vậy Có : \(aS_{n+2}+bS_{n+1}+cS_n=a\left(x_1^{n+2}+x_2^{n+2}\right)+b\left(x_1^{n+1}+x_2^{n+1}\right)+c\left(x_1^n+x_2^n\right)\)
\(=x_1^n\left(ax_1^2+bx_1+c\right)+x_2^n\left(ax_2^2+bx_2+c\right)\)
\(=0\)
Vậy bài toán đc c/m
Áp dụng bài toán trên :pt \(x^2-3x+1=0\)Có nghiệm nên
pt \(s_{n+2}-3S_{n+1}+S_n=0\)cũng có nghiệm
\(\Rightarrow S_{n+2}=3S_{n+1}-S_n\)
Ta sẽ c/m Sn là số nguyên bằng phương pháp quy nạp
Với \(n=0\Rightarrow S_0=2\inℤ\)
Với \(n=1\Rightarrow S_1=3\inℤ\)
Với \(n=2\Rightarrow S_2=7\inℤ\)
Giả sử bài toán đúng với .n = k và n = k + 1 (k là stn)
Ta phải c/m phải toán đúng với n = k + 2
Có \(S_{k+2}=6S_{k+1}-S_k\inℤ\left(Do\text{ }S_{k+1};S_k\inℤ\right)\)
Vậy \(S_n\inℤ\forall n\inℕ^∗\)