Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2-2\left(m+1\right)x+3\left(m+1\right)-3=0\)
\(x^2-2nx+3n+3=\left(x-n\right)^2-\left(n^2-3n+3\right)=0\)\(\left(x-n\right)^2=\left(n-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}>0\forall n\) vậy luôn tồn tại hai nghiệm
\(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{n-\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\\x_2=\frac{n+\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\end{cases}}\)
a) \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{4x_1-x_2}{x_1}\Leftrightarrow\frac{x_1^2-4x_1x_2+x_2^2}{x_1x_2}=0\)
\(x_1x_2=n^2-\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}=\frac{4n^2-4n^2+12n-9-3}{4}=3n-3\)
với n=1 hay m=0 : Biểu thức cần C/m không tồn tại => xem lại đề
\(pt:x^2-\left(m-2\right)x-2m=0\left(1\right)\)
\(\Delta=\left(2-m\right)^2-4.\left(-2m\right)=4-4m+m^2+8m=m^2+4m+4=\left(m+2\right)^2\ge0\forall m\)
⇒ pt luôn có nghiệm
Theo hệ thức Vi-et: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=-2m\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(m-2\right)^2-2.\left(-2m\right)=m^2-4m+4+4m=m^2+4\)
Vì \(m^2\ge0\forall m\Rightarrow m^2+4\ge4\forall m\)
Vậy \(m=0\) thì pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) đạt \(Min=4\)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2+4>0,\forall m\inℝ\)
nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1+x_2\).
Theo định lí Viete:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m-3\end{cases}}\)
\(P=\left|\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\left|x_1-x_2\right|}=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}}\)
\(=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{\left(2m+2\right)^2-4\left(2m-3\right)}}=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{4m^2+16}}=\frac{\left|m+1\right|}{\sqrt{m^2+4}}\ge0\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(m=-1\).
\(\Delta=4m^2-4m+1-4m-4=4m^2-8m-3\ge0\)
Để biểu thức A xác định thì \(x_1+x_2=2m-1\ne0\Rightarrow m\ne\frac{1}{2}\)
\(A=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{\left(x_1+x_2\right)^2}=\frac{\left(2m-1\right)^2-2\left(m+1\right)}{\left(2m-1\right)^2}\)
\(A=\frac{4m^2-6m-1}{4m^2-4m+1}\Rightarrow4Am^2-4Am+A=4m^2-6m-1\)
\(\Leftrightarrow\left(4A-4\right)m^2-2\left(2A-3\right)m+A+1=0\)
\(\Delta'=\left(2A-3\right)^2-\left(A+1\right)\left(4A-4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-12A+13\ge0\Rightarrow A\le\frac{13}{12}\)
\(\Rightarrow A_{max}=\frac{13}{12}\) khi \(m=-\frac{5}{2}\)
Thay \(m=-\frac{5}{2}\) vào điều kiện \(\Delta\) để thử thấy phù hợp, vậy...